Khi mới bắt đầu khởi nghiệp, một doanh nghiệp đã có một nhà xưởng sản xuất và một cửa hàng bán sản phẩm. Vì công việc thuận lợi và có nhiều hợp đồng, nên doanh nghiệp đã tính toán và muốn mở thêm một cửa hàng thứ hai sao cho cửa hàng này cách cửa hàng đầu tiên $ 5\,km $, đồng thời khoảng cách từ xưởng sản xuất đến hai cửa hàng phải bằng nhau. Đặt hệ trục tọa độ $ Oxy $ với đơn vị trên mỗi trục là $ 1\,km $, họ xác định được tọa độ là xưởng sản xuất là $ I\left ( { 3\ ;\ \frac { 13 } { 2 } } \right ) $, tọa độ của cửa hàng đầu tiên là $ B\left ( { 2\ ;\ 1 } \right ) $. Biết rằng có 2 vị trí mà doanh nghiệp có thể mở được cửa hàng thứ hai (giả sử không gặp vấn đề về vị trí địa lý, mặt bằng,…). Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí đó là bao nhiêu kilomet ?(làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Gọi tọa độ của cửa hàng thứ hai là $ A\left ( { a\,;\ b } \right ) $. Ta có: $ \overset\rightarrow { IA }\left ( { a-3\ ;\ b-\frac { 13 } { 2 } } \right );\overset\rightarrow { BA }=\left ( { a-2\ ;\ b-1 } \right );\overset\rightarrow { IB }=\left ( { -1\ ;\ -\frac { 11 } { 2 } } \right ) $ Theo đề bài cửa hàng thứ hai cách cửa hàng đầu tiên $ 5\,km $, đồng thời khoảng cách từ xưởng sản xuất đến hai cửa hàng phải bằng nhau nên $ \left \{ \begin{array}{l} \left | { \overset\rightarrow { BA } } \right |=5 \\ \left | { \overset\rightarrow { IA } } \right |=\left | { \overset\rightarrow { IB } } \right | \end{array} \right.⇒\left \{ \begin{array}{l} \sqrt[] { \left ( { a-2 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { b-1 } \right ) ^ { 2 } }=5 \\ \sqrt[] { \left ( { a-3 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { b-\frac { 13 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } }=\sqrt[] { 1 ^ { 2 } +\left ( { \frac { 11 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } } \end{array} \right. $ $ ⇒\left \{ \begin{array}{l} a ^ { 2 } +b ^ { 2 } -4a-2b=20 \\ a ^ { 2 } +b ^ { 2 } -6a-13b=-20 \end{array} \right.⇒\left \{ \begin{array}{l} a ^ { 2 } +b ^ { 2 } -4a-2b=20 \\ 2a+11b=40 \end{array} \right. \\ ⇒\left \{ \begin{array}{l} \left ( { 20-\frac { 11b } { 2 } } \right ) ^ { 2 } +b ^ { 2 } -2\left ( { 40-11b } \right )-2b=20 \\ a=20-\frac { 11b } { 2 } \end{array} \right. \\ ⇒\left \{ \begin{array}{l} \frac { 125 } { 4 }b ^ { 2 } -200b+300=0 \\ a=20-\frac { 11b } { 2 } \end{array} \right.⇒\left[\begin{array}{l} b=4;a=-2 \\ b=\frac { 12 } { 5 };a=\frac { 34 } { 5 } \end{array}\right. $ Vậy có hai vị trí đặt của hàng thứ hai là $ A_{ 1 } \left ( { -2\ ;\ 4 } \right );A_{ 2 } \left ( { \frac { 34 } { 5 }\ ;\ \frac { 12 } { 5 } } \right ) $. Khoảng cách giữa hai vị trí đó là $ \sqrt[] { \left ( { \frac { 34 } { 5 }+2 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 12 } { 5 }-4 } \right ) ^ { 2 } }=4\sqrt[] { 5 }≈8,9 $ km.