Cho $ a;b $ thỏa mãn: $ \lim\limits_{ x→1 } \frac { ax ^ { 2 } +bx-2 } { x-1 }=3 $. Tính giá trị biểu thức $ P=a+2b $.

Vì $ \lim\limits_{ x→1 } \frac { ax ^ { 2 } +bx-2 } { x-1 }=3 $ là 1 số hữu hạn và $ \lim\limits_{ x→1 } \left ( { x-1 } \right )=0 $ nên $ \lim\limits_{ x→1 } \left ( { ax ^ { 2 } +bx-2 } \right )=0 $ hay $ a+b-2=0⇔b=2-a $. Khi đó: $ \lim\limits_{ x→1 } \frac { ax ^ { 2 } +bx-2 } { x-1 }=\lim\limits_{ x→1 } \frac { ax ^ { 2 } +\left ( { 2-a } \right )x-2 } { x-1 } \\ =\lim\limits_{ x→1 } \frac { \left ( { x-1 } \right )\left ( { ax+2 } \right ) } { x-1 }=\lim\limits_{ x→1 } \left ( { ax+2 } \right )\, =\,a+2=3⇒a=1 $ nên $ b=1 $. Vậy $ \left \{ \begin{array}{l} a=1 \\ b=1 \end{array} \right.⇒P=a+2b=3 $.