Trắc nghiệm · Câu 52
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1; 2; 1)$ và cắt mặt phẳng $(P): 2x - y + 2z + 7 = 0$ theo một đường tròn có đường kính bằng 8. Phương trình mặt cầu $(S)$ là
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
D.
$(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-1)^2 = 25$
Lời giải
Lời giải
Khoảng cách từ tâm $I(1; 2; 1)$ đến mặt phẳng $(P): 2x - y + 2z + 7 = 0$ là:
$$
d = d(I, (P)) = \frac{|2(1) - 2 + 2(1) + 7|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|2 - 2 + 2 + 7|}{\sqrt{9}} = \frac{9}{3} = 3
$$
Đường tròn giao tuyến có đường kính bằng 8 nên bán kính đường tròn là $r = \frac{8}{2} = 4$.
Bán kính của mặt cầu $(S)$ là:
$$
R = \sqrt{d^2 + r^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5
$$
Vậy phương trình mặt cầu $(S)$ là:
$$
(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-1)^2 = R^2 = 25
$$
Chọn D.