Một nhà hàng cần mua các tủ đựng nguyên liệu làm đồ ăn. Có hai loại tủ: Tủ loại 1 chiếm $ 3\,m ^ { 2 } $ sàn, loại này có sức chứa $ 12{ \rm{ } }m ^ { 3 } $ và có giá $ 7,5 $ triệu đồng; tủ loại 2 chiếm $ 6{ \rm{ } }m ^ { 2 } $ sàn, loại này có sức chứa $ 18{ \rm{ } }m ^ { 3 } $ và có giá $ 5 $ triệu. Cho biết nhà hàng chỉ thu xếp được nhiều nhất là $ 60{ \rm{ } }m ^ { 2 } $ mặt bằng cho chỗ đựng tủ và kinh phí mua tủ không quá $ 60 $ triệu đồng. Tính thể tích đựng nguyên liệu lớn nhất mà nhà hàng có thể sắp xếp được (đơn vị $ m ^ { 3 } $).

Gọi $ x, y $ lần lượt là số tủ loại 1, loại 2 mà nhà hàng cần mua. Ta có các điều kiện ràng buộc đối với $ x, y $ như sau: Hiển nhiên $ x≥0, y≥0; x, y \in \mathbb{N} $. Vì mặt bằng nhiều nhất là $ 60m ^ { 2 } $ nên $ 3x + 6y ≤ 60 $. Vì kinh phí mua tủ không quá 60 triệu đồng nên $ 7,5x + 5y ≤ 60 $. Từ đó ta có hệ bất phương trình: $ \left \{ \begin{array}{l} 3x+6y≤60 \\ 7,5x+5y≤60 \\ x≥0 \\ y≥0 \end{array} \right. $ Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên hệ trục tọa độ $ Oxy $. Miền không gạch chéo (miền tứ giác $ OABC $, bao gồm cả các cạnh) là phần biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Với các đỉnh $ O(0;0), A(0;10), B(2;9), C(8;0) $. Gọi $ F $ là thể tích đựng nguyên liệu (đơn vị $ m^3 $), ta có: $ F = 12x + 18y $ Tính giá trị của $ F $ tại các đỉnh của tứ giác: Tại $ O(0;0), F = 12.0 + 18.0 = 0 $ Tại $ A(0;10), F = 12.0 + 18.10 = 180 $ Tại $ B(2;9), F = 12.2 + 18.9 = 186 $ Tại $ C(8;0), F = 12.8 + 18.0 = 96 $ $ F $ đạt giá trị lớn nhất bằng 186 tại $ B(2;9) $. Vậy thể tích đựng nguyên liệu lớn nhất mà nhà hàng có thể sắp xếp được là $ 186\,m^3 $.