Một hộ nông dân dự định trồng dứa và củ đậu trên diện tích $8\text{ ha}$. Trên diện tích mỗi $\text{ ha}$, nếu trồng dứa thì cần $20$ công và thu $3$ triệu đồng, nếu trồng củ đậu thì cần $30$ công và thu $4$ triệu đồng. Giả sử trên diện tích $8\text{ ha}$, hộ nông dân đó trồng $a\text{ ha}$ dứa và $b\text{ ha}$ củ đậu để thu được nhiều tiền nhất, biết rằng tổng số công không quá $180$. Tính $S = 4a + 3b$.

Gọi $a$ và $b$ lần lượt là số hécta ($\text{ha}$) đất trồng dứa và củ đậu ($a \ge 0, b \ge 0$). Từ giả thiết của bài toán, ta lập được các điều kiện ràng buộc sau: - Tổng diện tích trồng dứa và củ đậu không vượt quá diện tích đất hiện có: $a + b \le 8$ - Tổng số ngày công không quá $180$: $20a + 30b \le 180 \Leftrightarrow 2a + 3b \le 18$ Ta có hệ bất phương trình xác định miền nghiệm: $$ \left\{ \begin{array}{l} a \ge 0 \\ b \ge 0 \\ a + b \le 8 \\ 2a + 3b \le 18 \end{array} \right. $$ Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác $OABC$ (kể cả biên) với tọa độ các đỉnh là: - $O(0;0)$ - $A(0;6)$ (giao điểm của đường thẳng $2a + 3b = 18$ với trục tung $Ob$) - $B(6;2)$ (giao điểm của hai đường thẳng $a + b = 8$ và $2a + 3b = 18$) - $C(8;0)$ (giao điểm của đường thẳng $a + b = 8$ với trục hoành $Oa$) Số tiền thu được (đơn vị: triệu đồng) được biểu diễn qua hàm số mục tiêu: $$ T(a;b) = 3a + 4b $$ Tính giá trị của hàm số $T(a;b)$ tại các đỉnh của miền nghiệm đa giác: - Tại $O(0;0)$: $T = 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 = 0$ - Tại $A(0;6)$: $T = 3 \cdot 0 + 4 \cdot 6 = 24$ - Tại $B(6;2)$: $T = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 2 = 26$ - Tại $C(8;0)$: $T = 3 \cdot 8 + 4 \cdot 0 = 24$ So sánh các giá trị trên, số tiền lớn nhất đạt được tại $B(6;2)$, tức là $a = 6$, $b = 2$. Vậy $S = 4a + 3b = 4 \cdot 6 + 3 \cdot 2 = 30$.