Gọi $ M $ và $ m $ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $ f(x;y)=2x-3y+1 $ với $ (x;y) $ là nghiệm của hệ bất phương trình $ \left \{ \begin{array}{l} 3x-y≥-1 \\ 2x+y≤6 \\ x+3y≥3 \end{array} \right. $ (*). Tính $ S=M+2m. $

+ Vẽ các đường thẳng $ d_{1}: 3x-y=-1 $; $ d_{2}: 2x+y=6 $; $ d_{3}: x+3y=3 $ + Điểm $ M(1;1) $ có tọa độ thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng bờ $ d_{1}; d_{2}; d_{3} $ không chứa điểm $ M $. Miền không bị tô đậm là hình tam giác $ ABC $, tính cả ba cạnh $ AB, BC, CA $ là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Tìm tọa độ các điểm $ A, B, C $: + $ A = d_{1} \cap d_{3} $ nên tọa độ của nó là nghiệm của hệ $ \left \{ \begin{array}{l} 3x-y=-1 \\ x+3y=3 \end{array} \right. ⇔ \left \{ \begin{array}{l} x=0 \\ y=1 \end{array} \right. $. Vậy $ A(0;1) $. + $ B = d_{1} \cap d_{2} $ nên tọa độ của nó là nghiệm của hệ $ \left \{ \begin{array}{l} 3x-y=-1 \\ 2x+y=6 \end{array} \right. ⇔ \left \{ \begin{array}{l} x=1 \\ y=4 \end{array} \right. $. Vậy $ B(1;4) $. + $ C = d_{2} \cap d_{3} $ nên tọa độ của nó là nghiệm của hệ $ \left \{ \begin{array}{l} 2x+y=6 \\ x+3y=3 \end{array} \right. ⇔ \left \{ \begin{array}{l} x=3 \\ y=0 \end{array} \right. $. Vậy $ C\left ( { 3;0 } \right ) $. * Tính giá trị của $ f\left ( { x;y } \right )=2x-3y+1 $ tại tất cả các đỉnh của tam giác $ ABC $: $ \left ( { x;y } \right ) $ $ A\left ( { 0;1 } \right ) $ $ B\left ( { 1;4 } \right ) $ $ C\left ( { 3;0 } \right ) $ $ f\left ( { x;y } \right )=2x-3y+1 $ $ -2 $ $ -9 $ $ 7 $ Suy ra $ m=minf\left ( { x;y } \right )=f\left ( { 1;4 } \right )=-9 $ và $ M=maxf\left ( { x;y } \right )=f\left ( { 3;0 } \right )=7 $. Suy ra $ S=M+2m=7+2\left ( { -9 } \right )=-11 $.