Đầu mỗi tháng anh $ A $ gửi vào ngân hàng $ 3 $ triệu đồng với lãi suất kép là $ 0,6\% $ mỗi tháng. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng thì anh $ A $ có được số tiền cả lãi và gốc nhiều hơn $ 100 $ triệu biết lãi suất không đổi trong quá trình gửi?

Gọi $ a $ (đồng) là số tiền hàng tháng người lao động gửi vào ngân hàng, $ r\% $ là lãi suất ngân hàng mỗi tháng, $ T_{ n } $ (đồng) là số tiền cả gốc lẫn lãi người lao động nhận được trong $ n $ (tháng). Cuối tháng thứ nhất, người đó có số tiền là: $ T_{ 1 } =a+a.r =a\left ( { 1+r } \right ) $. Đầu tháng thứ hai, người đó có số tiền là: $ T_{ 1 } ^ { ¢=a\left ( { 1+r } \right )+a } =a\left[ \left ( { 1+r } \right )+1 \right] $ $ =\frac { a } { \left[ \left ( { 1+r } \right )-1 \right] }\left[ \left ( { 1+r } \right ) ^ { 2 } -1 \right] =\frac { a } { r }\left[ \left ( { 1+r } \right ) ^ { 2 } -1 \right] $. Cuối tháng thứ hai, người đó có số tiền là: $ T_{ 2 } =\frac { a } { r }\left[ \left ( { 1+r } \right ) ^ { 2 } -1 \right]+\frac { a } { r }\left[ \left ( { 1+r } \right ) ^ { 2 } -1 \right].r =\frac { a } { r }\left[ \left ( { 1+r } \right ) ^ { 2 } -1 \right]\left ( { 1+r } \right ) $. Tương tự, lập luận như trên ta cũng có công thức tính số tiền nhận được vào cuối tháng thứ $ n $, người đó có số tiền cả gốc lẫn lãi là: $ T_{ n } =\frac { a } { r }\left[ \left ( { 1+r } \right ) ^ { n } -1 \right]\left ( { 1+r } \right ) $. Để anh $ A $ có được số tiền cả lãi và gốc nhiều hơn $ 100 $ triệu thì điều kiện là: $ T_{ n } >100 $$ ⇔\frac { 3 } { 0,6\% }\left[ \left ( { 1+0,6\% } \right ) ^ { n } -1 \right]\left ( { 1+0,6\% } \right )>100 $$ ⇔n>\log_{ 1,006 } \frac { 603 } { 503 }≈30,3 $. Vậy sau ít nhất $ 31 $ tháng thì anh $ A $ có được số tiền cả lãi và gốc nhiều hơn $ 100 $ triệu.