Anh An vay ngân hàng $ 100 $ triệu đồng với lãi suất $ 0,7{ \rm{ \% } }/1 $ tháng theo phương thức trả góp, cứ mỗi tháng anh An sẽ trả cho ngân hàng 5 triệu đồng và trả hàng tháng như thế cho đến khi hết nợ. Hỏi sau bao nhiêu tháng thì anh An trả được hết nợ ngân hàng? (Biết lãi suất ngân hàng không thay đổi).

Gọi $ N $(triệu) là số tiền vay ngân hàng ban đầu, $ r $ là lãi suất mỗi tháng, $ A $ (triệu) là số tiền phải trả mỗi tháng để sau $ n $ tháng thì hết nợ. Sau $ 1 $ tháng thì số tiền gốc và lãi là $ N+Nr $, người đó trả $ A $ đồng nên số tiền còn nợ là: $ N+Nr-A=N\left ( { 1+r } \right )-A $. Sau 2 tháng, số tiền còn nợ là: $ \left[ N\left ( { 1+r } \right )-A \right]+\left[ N\left ( { 1+r } \right )-A \right]r-A=N\left ( { 1+r } \right ) ^ { 2 } -A\left[ \left ( { 1+r } \right )+1 \right]=N\left ( { 1+r } \right ) ^ { 2 } -\frac { A } { r }\left[ \left ( { 1+r } \right ) ^ { 2 } -1 \right] $ Sau 3 tháng, số tiền còn nợ là $ N\left ( { 1+r } \right ) ^ { 3 } -\frac { A } { r }\left[ \left ( { 1+r } \right ) ^ { 3 } -1 \right] $. Sau n tháng, số tiền còn nợ là $ N\left ( { 1+r } \right ) ^ { n } -\frac { A } { r }\left[ \left ( { 1+r } \right ) ^ { n } -1 \right] $. Để trả hết nợ sau $ n $ tháng thì số tiền này phải bằng $ 0 $. $ ⇒N\left ( { 1+r } \right ) ^ { n } -\frac { A } { r }\left[ \left ( { 1+r } \right ) ^ { n } -1 \right]=0 $. $ ⇔\left ( { 1+r } \right ) ^ { n } \left ( { N-\frac { A } { r } } \right )=\frac { -A } { r }⇔\left ( { 1+r } \right ) ^ { n } =\frac { A } { A-Nr }⇔n={ \rm{ \log } }_{ 1+r } \left ( { \frac { A } { A-Nr } } \right ) $. Áp dụng với $ N=100 $ (triệu đồng), $ r=0,7{ \rm{ \% } }=0,007 $, $ A=5 $ (triệu đồng). $ ⇒n={ \rm{ \log } }_{ 1,007 } \left ( { \frac { 5 } { 5-100.0,007 } } \right )≈21,62 $. Vậy sau $ 22 $ tháng thì anh An trả hết nợ.