(THPT Khoa Học Giáo Dục - Hà Nội 2025) Cho hình lăng trụ đứng $ ABC.A'B'C' $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông tại $ B $ và có độ dài các cạnh $ AB=\sqrt[] { 3 } $, $ BC=2 $, $ AA'=\sqrt[] { 2 } $. Gọi $ M $ là trung điểm của $ BC $. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $ AM $ và $ B'C $ (Nếu kết quả là số thập phân thì làm tròn đến hàng phần trăm).

Chọn hệ trục tọa độ $ Oxyz $ có gốc tọa độ tại $ B(0,0,0) $. Trục $ Ox $ chứa cạnh $ BC $; $ Oy $ chứa cạnh $ BA $; Trục $ Oz $ chứa cạnh $ BB' $. Tọa độ các điểm: $ B(0;0;0) $; $ C(2;0;0) $; $ M(1;0;0) $; $ A(0;\sqrt[] { 3 };0) $; $ B'(0;0;\sqrt[] { 2 }) $. Ta có: $ \overset\rightarrow { AM }=(1;-\sqrt[] { 3 };0);{ \rm{ } }\overset\rightarrow { B'C }=(2;0;-\sqrt[] { 2 }) $ Mặt phẳng $ (P) $ chứa $ B'C $ song song $ AM $qua $ C $nhận $ \overset\rightarrow { n }=[\overset\rightarrow { B'C },\overset\rightarrow { AM }]=(\sqrt[] { 6 };\sqrt[] { 2 };2\sqrt[] { 3 }) $ $ (P):{ \rm{ } }\sqrt[] { 6 }x+\sqrt[] { 2 }y+2\sqrt[] { 3 }z-2\sqrt[] { 6 }=0 $ Khoảng cách giữa hai đường thẳng $ AM $ và $ B'C $: $ d(AM,B'C)=d(M,(P))=\frac { \|-\sqrt[] { 6 }\| } { 2\sqrt[] { 5 } }=\frac { \sqrt[] { 6 } } { 2\sqrt[] { 5 } }≈0,5477≈0,55 $.