Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình thoi cạnh $ 2\sqrt[] { 5 } $, tâm $ O $ và $ \widehat { ABC }=60°, $ mặt bên $ SAB $ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $ H $ là trung điểm cạnh $ AB $. Tính bình phương khoảng cách từ $ H $ đến mặt phẳng $ (SAC). $

Hạ $ HK⊥AC $ ($ K $ là trung điểm của $ AO $) và hạ $ HI\,⊥\,SK $ thì $ HI $ là khoảng cách từ $ H $ đến mặt phẳng $ \left ( { SAC } \right ) $. Tính $ HI $. Ta có : $ BD=2\sqrt[] { 5 }.\sqrt[] { 3 }=2\sqrt[] { 15 } $ nên $ BO=\sqrt[] { 15 } $. Vậy $ HK=\frac { 1 } { 2 }BO=\frac { \sqrt[] { 15 } } { 2 } $. $ SH $ là chiều cao trong tam giác đều $ SAB $ nên $ SH=\frac { AB.\sqrt[] { 3 } } { 2 }=\sqrt[] { 15 } $. Nên $ \frac { 1 } { HI ^ { 2 } }=\frac { 1 } { HK ^ { 2 } }+\frac { 1 } { HS ^ { 2 } }=\frac { 4 } { 15 }+\frac { 1 } { 15 }=\frac { 1 } { 3 } $. Vậy $ HI ^ { 2 } =3 $.