Cho hình lăng trụ $ ABCD.A'B'C'D' $ có đáy $ ABCD $ là hình chữ nhật với $ AB=1,\,AD=2, $tam giác $ A'AB $ cân tại $ A' $ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ). $ Khoảng cách từ $ D $ đến $ \left ( { A'BC } \right ) $ bằng $ \frac { 2 } { 5 }. $ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $ A'B $ và $ AC $(Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Gọi $ H $ là trung điểm của $ AB $. Do tam giác $ A'AB $ cân tại $ A' $ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên $ A'H⊥\left ( { ABCD } \right ). $ Chọn hệ trục tọa độ $ Oxyz $ như hình vẽ. Ta có $ H\left ( { 0;0;0 } \right ) $,$ D\left ( { \frac { 1 } { 2 };2;0 } \right ) $, $ B\left ( { -\frac { 1 } { 2 };0;0 } \right ),C\left ( { -\frac { 1 } { 2 };2;0 } \right ) $ Đặt $ A'H=c \left ( { c>0 } \right ) $. Do đó $ A'\left ( { 0;0;c } \right ). $ Khi đó $ \overset\rightarrow { A'B }=\left ( { -\frac { 1 } { 2 };0;-c } \right ),\,\overset\rightarrow { BC }=\left ( { 0;2;0 } \right ) $. Suy ra một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $ \left ( { A'BC } \right ) $ là $ \overset\rightarrow { n_{ 1 } }=\left[ \overset\rightarrow { A'B },\overset\rightarrow { BC } \right]=\left ( { 2c;0;-1 } \right ) $. Phương trình mặt phẳng $ \left ( { A'BC } \right ) $ là $ 2c\left ( { x+\frac { 1 } { 2 } } \right )-z=0⇔2cx-z+c=0. $ Do khoảng cách từ $ D $ đến $ \left ( { A'BC } \right ) $ là $ \frac { 2 } { 5 } $ nên ta có $ \frac { \left | { 2c.\frac { 1 } { 2 }+c } \right | } { \sqrt[] { 4c ^ { 2 } +1 } }=\frac { 2 } { 5 }⇒25.4c ^ { 2 } =4\left ( { 4c ^ { 2 } +1 } \right )⇔c=\frac { 1 } { \sqrt[] { 21 } }. $ Vậy $ A'\left ( { 0;0;\frac { 1 } { \sqrt[] { 21 } } } \right ). $ Ta có $ \overset\rightarrow { A'B }=\left ( { -\frac { 1 } { 2 };0;-\frac { 1 } { \sqrt[] { 21 } } } \right );\,\overset\rightarrow { AC }=\left ( { -1;2;0 } \right );\,\overset\rightarrow { BC }=\left ( { 0;2;0 } \right ). $ Khi đó $ d\left ( { A'B,AC } \right )=\frac { \left | { \left[ \overset\rightarrow { A'B },\overset\rightarrow { AC } \right].\overset\rightarrow { BC } } \right | } { \left | { \left[ \overset\rightarrow { A'B },\overset\rightarrow { AC } \right] } \right | }=\frac { \sqrt[] { 26 } } { 13 }=0,39. $