Biết rằng tồn tại đúng ba giá trị $ m_{ 1 } ,m_{ 2 } ,m_{ 3 } $ của tham số $ m $ để phương trình $ x ^ { 3 } -9x ^ { 2 } +23x+m ^ { 3 } -4m ^ { 2 } +m-9=0 $ có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng. Tính giá trị của biểu thức $ P=m_{ 1 } ^{ 3 }+m_{ 2 } ^{ 3 }+m_{ 3 } ^{ 3 } $.

Ta có phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt $ x_{ 1 } ,x_{ 2 } ,x_{ 3 } $ theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì $ x_{ 1 } +x_{ 2 } +x_{ 3 } =-\frac { b } { a }⇔x_{ 2 } +2x_{ 2 } =-\frac { b } { a }⇔3x_{ 2 } =-\frac { b } { a }⇔x_{ 2 } =-\frac { b } { 3a }=-\frac { -9 } { 3 }=3 $ Suy ra $ 3 ^ { 3 } -9.3 ^ { 2 } +23.3+m ^ { 3 } -4m ^ { 2 } +m-9=0⇔m ^ { 3 } -4m ^ { 2 } +m+6=0⇔m=-1,m=2,m=3 $ Với $ m=-1,m=2,m=3 $thì $ m ^ { 3 } -4m ^ { 2 } +m+6=0 $ nên $ m ^ { 3 } -4m ^ { 2 } +m-9=-15 $ Do vậy, với $ m=-1,m=2,m=3 $ ta có phương trình $ x ^ { 3 } -9x ^ { 2 } +23x-15=0⇔(x-3)\left ( { x ^ { 2 } -6x+5 } \right )=0⇔x=1,x=3,x=5 $ Ba số 1,3,5 lập thành cấp số cộng. Vậy $ m=-1,m=2,m=3 $là các giá trị cần tìm. Do đó $ (-1) ^ { 3 } +2 ^ { 3 } +3 ^ { 3 } =34 $