Cho hàm số $ f\left ( { x } \right )=\begin{cases} \dfrac { x } { \sqrt[3] { 7x+1 }-1 } & \text{khi } x>0 \\ x ^ { 2 } -x+\dfrac { 3 } { 7 } & \text{khi } x≤0 \end{cases} $. Xét trên toàn tập xác định, tìm số điểm gián đoạn của hàm số.

+) Tập xác định: $ D=\mathbb{R} $. +) Hàm số $ f\left ( { x } \right )=\frac { x } { \sqrt[3] { 7x+1 }-1 } $ xác định trên khoảng $ \left ( { 0;+∞ } \right ) $ nên hàm số liên tục trên khoảng $ \left ( { 0;+∞ } \right ) $. +) Hàm số $ f\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } -x+\frac { 3 } { 7 } $ xác định trên trên khoảng $ \left ( { -∞;0 } \right ) $ nên hàm số liên tục trên khoảng $ \left ( { -∞;0 } \right ) $. +) Tại $ x=0 $: $ \lim\limits_{ x→0 ^ { + } } f\left ( { x } \right )=\lim\limits_{ x→0 ^ { + } } \frac { x } { \sqrt[3] { 7x+1 }-1 }=\lim\limits_{ x→0 ^ { + } } \frac { x\left ( { \left ( { \sqrt[3] { 7x+1 } } \right ) ^ { 2 } +\sqrt[3] { 7x+1 }+1 } \right ) } { 7x }=\frac { 3 } { 7 } $. $ \lim\limits_{ x→0 ^ { - } } f\left ( { x } \right )=\lim\limits_{ x→0 ^ { - } } \left ( { x ^ { 2 } -x+\frac { 3 } { 7 } } \right )=\frac { 3 } { 7 } $. Nhận thấy $ \lim\limits_{ x→0 ^ { + } } f\left ( { x } \right )=\lim\limits_{ x→0 ^ { - } } f\left ( { x } \right )=\frac { 3 } { 7 }⇒\lim\limits_{ x→0 } f\left ( { x } \right )=\frac { 3 } { 7 } $. Đồng thời $ f\left ( { 0 } \right )=\frac { 3 } { 7 } $. Do đó $ \lim\limits_{ x→0 } f\left ( { x } \right )=f\left ( { 0 } \right ) $. Suy ra hàm số liên tục tại $ x=0 $. Vậy hàm số liên tục trên $ \mathbb{R} $, hay số điểm gián đoạn của hàm số trên toàn tập xác định là 0.