Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \frac{x^{3}+2x^{2}-5x+m}{x-2} & \text{khi } x \neq 2 \\ 4n-1 & \text{khi } x=2 \end{cases}$ với $m, n$ là các tham số thực. Hãy tính giá trị $T=2m+3n$ để hàm số liên tục trên tập xác định.

Lời giải Hàm số liên tục tại $x=2$ khi $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$. Để $\lim_{x \to 2} f(x)$ hữu hạn thì $x=2$ phải là nghiệm của tử số: $2^{3}+2(2^{2})-5(2)+m=0 \Rightarrow 8+8-10+m=0 \Rightarrow m=-6$. $$ \lim_{x \to 2} \frac{x^{3}+2x^{2}-5x-6}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x^{2}+4x+3) = 15 $$ $f(2) = 4n-1 = 15 \Rightarrow 4n = 16 \Rightarrow n=4$. Vậy $T = 2(-6) + 3(4) = -12 + 12 = 0$.