Cho giới hạn $ \lim\limits_{ n\to +\infty } \left ( { \sqrt[3] { 8n ^ { 3 } +3n ^ { 2 } }-\sqrt[] { 4n ^ { 2 } +2 } } \right )=\frac { a } { b } $, với $ \frac { a } { b } $ là phân số tối giản. Tính $ a+b $?

Ta có $ \lim\limits_{ n\to +\infty } \left ( { \sqrt[3] { 8n ^ { 3 } +3n ^ { 2 } }-\sqrt[] { 4n ^ { 2 } +2 } } \right )=\lim\limits_{ n\to +\infty } \left[ \left ( { \sqrt[3] { 8n ^ { 3 } +3n ^ { 2 } }-2n } \right )+\left ( { 2n-\sqrt[] { 4n ^ { 2 } +2 } } \right ) \right] $ $ \begin{array}{l} =\lim\limits_{ n\to +\infty } \left[ \frac { 8n ^ { 3 } +3n ^ { 2 } -8n ^ { 3 } } { \left ( { \sqrt[3] { 8n ^ { 3 } +3n ^ { 2 } } } \right ) ^ { 2 } +2n\sqrt[3] { 8n ^ { 3 } +3n ^ { 2 } }+4n ^ { 2 } }+\frac { 4n ^ { 2 } -4n ^ { 2 } -2 } { 2n+\sqrt[] { 4n ^ { 2 } +2 } } \right] \\ =\lim\limits_{ n\to +\infty } \left[ \frac { 3n ^ { 2 } } { \left ( { \sqrt[3] { 8n ^ { 3 } +3n ^ { 2 } } } \right ) ^ { 2 } +2n\sqrt[3] { 8n ^ { 3 } +3n ^ { 2 } }+4n ^ { 2 } }+\frac { -2 } { 2n+\sqrt[] { 4n ^ { 2 } +2 } } \right] \end{array} $ $ =\lim_{ n\to +\infty } \left[ \frac { 3 } { \left ( { \sqrt[3] { 8+\frac { 3 } { n } } } \right ) ^ { 2 } +2\sqrt[3] { 8+\frac { 3 } { n } }+4 }+\frac { \frac { -2 } { n } } { 2+\sqrt[] { 4+\frac { 2 } { n } } } \right]=\frac { 1 } { 4 }+0=\frac { 1 } { 4 } $. Vậy, $ a+b=5 $.