Cho $ a>0 $, biết $ \lim\limits_{ x\to +\infty } \left ( { \sqrt[] { ax ^ { 2 } +x+2 }-x } \right ) $ là một số hữu hạn dạng $ \frac { m } { n } $ (là phân số tối giản). Tính giá trị $ m+n $

Phần giải chi tiết Ta có: $ \lim\limits_{ x\to +\infty } \left ( { \sqrt[] { ax ^ { 2 } +x+2 }-x } \right )=\lim\limits_{ x\to +\infty } \frac { ax ^ { 2 } +x+2-x ^ { 2 } } { \sqrt[] { ax ^ { 2 } +x+2 }+x }=\lim\limits_{ x\to +\infty } \frac { \left ( { a-1 } \right )x ^ { 2 } +x+2 } { \sqrt[] { ax ^ { 2 } +x+2 }+x } $ +) Với $ a>1 $: $ \lim\limits_{ x\to +\infty } \frac { \left ( { a-1 } \right )x ^ { 2 } +x+2 } { \sqrt[] { ax ^ { 2 } +x+2 }+x }=\lim\limits_{ x\to +\infty } \frac { \left ( { a-1 } \right )+\frac { 1 } { x }+\frac { 2 } { x ^ { 2 } } } { \sqrt[] { a+\frac { 1 } { x }+\frac { 2 } { x ^ { 2 } } }+\frac { 1 } { x } }=+\infty $ +) Với $ 0 < a < 1 $: $ \lim\limits_{ x\to +\infty } \frac { \left ( { a-1 } \right )x ^ { 2 } +x+2 } { \sqrt[] { ax ^ { 2 } +x+2 }+x }=\lim\limits_{ x\to +\infty } \frac { \left ( { a-1 } \right )+\frac { 1 } { x }+\frac { 2 } { x ^ { 2 } } } { \sqrt[] { a+\frac { 1 } { x }+\frac { 2 } { x ^ { 2 } } }+\frac { 1 } { x } }=-\infty $ +) Với $ a=1 $: $ \lim\limits_{ x\to +\infty } \frac { \left ( { a-1 } \right )x ^ { 2 } +x+2 } { \sqrt[] { ax ^ { 2 } +x+2 }+x }=\lim\limits_{ x\to +\infty } \frac { x+2 } { \sqrt[] { x ^ { 2 } +x+2 }+x }=\lim\limits_{ x\to +\infty } \frac { 1+\frac { 2 } { x } } { \sqrt[] { 1+\frac { 1 } { x }+\frac { 2 } { x ^ { 2 } } }+1 }=\frac { 1 } { 2 } $ Vậy $ \frac { m } { n }=\frac { 1 } { 2 }⇒m+n=3 $.