Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt[3]{x+7}-\sqrt{3x+1}}{x-1} & \text{khi } x \neq 1 \\ a^{2}+ax-\frac{8}{3} & \text{khi } x=1 \end{cases}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $a$ để hàm số liên tục tại $x_{0} = 1$.

Lời giải $$ \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x+7}-\sqrt{3x+1}}{x-1} = \lim_{x \to 1} \Big( \frac{\sqrt[3]{x+7}-2}{x-1} + \frac{2-\sqrt{3x+1}}{x-1} \Big) $$ $$ = \lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt[3]{(x+7)^{2}}+2\sqrt[3]{x+7}+4} + \lim_{x \to 1} \frac{-3(x-1)}{(x-1)(2+\sqrt{3x+1})} = \frac{1}{12} - \frac{3}{4} = -\frac{2}{3} $$ $f(1) = a^{2}+a-\frac{8}{3}$. Để hàm số liên tục tại $x=1$: $$ a^{2}+a-\frac{8}{3} = -\frac{2}{3} \Leftrightarrow a^{2}+a-2=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a=1 \\ a=-2 \end{array} \right. $$ Có 2 giá trị của $a$.