Trắc nghiệm · Câu 44
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh bằng $a$. Khoảng cách giữa $BD$ và $(AB'D')$ là
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
B.
$\frac{a\sqrt{3}}{3}$
Lời giải
Lời giải
Ta có $BD \parallel B'D'$ nên $BD \parallel (AB'D')$.
Do đó:
$$
d\Big(BD, (AB'D')\Big) = d\Big(D, (AB'D')\Big) = d\Big(A', (AB'D')\Big)
$$
Gọi $O = A'C' \cap B'D'$. Ta có $B'D' \perp A'O$ và $B'D' \perp AA'$, nên $B'D' \perp (AA'O)$.
Suy ra $(AB'D') \perp (AA'O)$.
Kẻ $A'H \perp AO$ trong tam giác vuông $AA'O$, thì $A'H \perp (AB'D')$.
Xét tam giác vuông $AA'O$ với đường cao $A'H$:
$$
\frac{1}{A'H^2} = \frac{1}{AA'^2} + \frac{1}{A'O^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{2}{a^2} = \frac{3}{a^2}
$$
$$
A'H = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}
$$