Một bệnh có tỷ lệ mắc là $0,2\%$. Một xét nghiệm âm tính cho bệnh này có độ chính xác là $98\%$ khi người bệnh mắc bệnh và $95\%$ khi người bệnh không mắc bệnh. Nếu một người có kết quả xét nghiệm âm tính, thì xác suất người đó không mắc bệnh là bao nhiêu?

Question

Beedemy · Accepted Answer

C. 99,99% Lời giải: Lời giải Gọi $A$: “Người đó mắc bệnh” $\Rightarrow P(A) = 0,002$. Gọi $\bar{A}$: “Người đó không mắc bệnh” $\Rightarrow P(\bar{A}) = 0,998$. Gọi $B$: “Xét nghiệm âm tính”. Độ chính xác khi mắc bệnh là 98% (xét nghiệm ra đúng dương tính), vậy xác suất xét nghiệm âm tính sai (âm tính giả) khi mắc bệnh: $P(B|A) = 1 - 0,98 = 0,02$. Độ chính xác khi không mắc bệnh là 95% (xét nghiệm ra đúng âm tính): $P(B|\bar{A}) = 0,95$. Xác suất xét nghiệm âm tính là: $$ P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(\bar{A}) \cdot P(B|\bar{A}) = 0,002 \cdot 0,02 + 0,998 \cdot 0,95 = 0,00004 + 0,9481 = 0,94814 $$ Công thức Bayes, xác suất không mắc bệnh khi xét nghiệm âm tính là: $$ P(\bar{A}|B) = \frac{P(\bar{A}) \cdot P(B|\bar{A})}{P(B)} = \frac{0,998 \cdot 0,95}{0,94814} \approx 0,9999 $$

Cùng dạng: Ứng dụng Bayes trong bài toán kiểm tra chất lượng, chẩn đoán y tế, truyền tin