Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng 2, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left(ABC\right)$; Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left(ABC\right)$ bằng $60^{\circ}$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AB$. Tính khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $\left(SCM\right)$, kết quả làm tròn đến phần trăm.

Lời giải Vì $AB$ là hình chiếu của $SB$ trên mặt phẳng $\left(ABC\right)$, nên góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left(ABC\right)$ bằng góc $\widehat{SBA} = 60^{\circ} \Rightarrow SA = AB \cdot \tan 60^{\circ} = 2\sqrt{3}$. Do $M$ là trung điểm của $AB$ nên $d\left(A, \left(SCM\right)\right) = d\left(B, \left(SCM\right)\right)$. Ta có: $$ \begin{cases} CM \perp AB \\ CM \perp SA \end{cases} \Rightarrow CM \perp \left(SAB\right) \Rightarrow \left(SCM\right) \perp \left(SAB\right) $$ Kẻ $AH \perp SM$ tại $H$ ($H \in SM$). Vì $\left(SCM\right) \perp \left(SAB\right)$ theo giao tuyến $SM$ nên $AH \perp \left(SCM\right)$. Vậy $AH = d\left(A, \left(SCM\right)\right) = d\left(B, \left(SCM\right)\right)$. Xét tam giác $SAM$ vuông tại $A$ ($AM = 1$): $$ \frac{1}{AH^{2}} = \frac{1}{SA^{2}} + \frac{1}{AM^{2}} = \frac{1}{(2\sqrt{3})^{2}} + \frac{1}{1^{2}} = \frac{1}{12} + 1 = \frac{13}{12} $$ $$ AH = \sqrt{\frac{12}{13}} \approx 0,96 $$