Cho phương trình $ x ^ { 2 } =\sqrt[] { x+1 } $ (1) và phương trình $ x ^ { 3 } -3x+1=0 $ (2).

a) Đúng. b) Đúng. Ta có (1) $ ⇔x ^ { 2 } -\sqrt[] { x+1 }=0 $ Đặt $ f\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } -\sqrt[] { x+1 } $. + Ta có : $ \left \{ \begin{array}{l} f\left ( { 1 } \right )=1-\sqrt[] { 2 } < 0 \\ f\left ( { 2 } \right )=4-\sqrt[] { 3 }>0 \end{array} \right.⇒f\left ( { 1 } \right ).f\left ( { 2 } \right ) < 0 $. + Hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ liên tục trên $ \left ( { -1;+∞ } \right ) $ do đó liên tục trên $ \left[ 1;2 \right] $ $ ⇒ $Phương trình $ f\left ( { x } \right )=0 $ có ít nhất 1 nghiệm trong $ \left ( { 1;2 } \right ) $. Đặt $ g\left ( { x } \right )=x ^ { 3 } -3x+1 $. + Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} g\left ( { 1 } \right )=-1 \\ g\left ( { 2 } \right )=3 \end{array} \right.⇒g\left ( { 1 } \right ).g\left ( { 2 } \right ) < 0 $. + Hàm số $ y=g\left ( { x } \right ) $ là hàm đa thức nên liên tục trên $ \mathbb{R} $ do đó liên tục trên $ \left[ 1;2 \right] $ $ ⇒ $Phương trình $ g\left ( { x } \right )=0 $ có ít nhất 1 nghiệm trong $ \left ( { 1;2 } \right ) $. Vậy cả phương trình (1) và (2) đều có nghiệm trong $ \left ( { 1;2 } \right ) $. c) Sai. Xét phương trình (1): $ f\left ( { -1 } \right )=1-\sqrt[] { 0 }=1>0 $, $ f\left ( { 0 } \right )=0-\sqrt[] { 1 }=-1 < 0 $ nên $ f\left ( { -1 } \right )\cdot f\left ( { 0 } \right ) < 0 $, do đó phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm trong $ \left ( { -1;0 } \right ) $. Xét phương trình (2): $ g\left ( { -1 } \right )=3 $, $ g\left ( { 0 } \right )=1 $ nên $ g\left ( { -1 } \right )\cdot g\left ( { 0 } \right )=3>0 $; trên thực tế phương trình (2) không có nghiệm nào trong $ \left ( { -1;0 } \right ) $. Vậy không phải cả hai phương trình đều có nghiệm trong $ \left ( { -1;0 } \right ) $. d) Sai. Theo câu b) và c), phương trình (1) có nghiệm trong cả $ \left ( { -1;0 } \right ) $ và $ \left ( { 1;2 } \right ) $ nên có ít nhất 2 nghiệm phân biệt, do đó phương trình (1) không thể có nhiều nhất 1 nghiệm.