Phương trình $ -\sin ^ { 3 } x+3\sin x+1=0 $ có tất cả bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng $ \left ( { -π;2π } \right ) $?

Xét hàm số $ f\left ( { t } \right )=-t ^ { 3 } +3t+1 $. Hàm số này xác định và liên tục trên tập $ \mathbb{R} $. Hàm số $ f\left ( { t } \right ) $ liên tục trên đoạn $ \left[ -2;-1 \right] $ và $ f\left ( { -2 } \right )\cdot f\left ( { -1 } \right )=3\cdot \left ( { -1 } \right )=-3 < 0 $ nên phương trình $ f\left ( { t } \right )=0 $ có ít nhất một nghiệm trên khoảng $ \left ( { -2;-1 } \right ) $. Hàm số $ f\left ( { t } \right ) $ liên tục trên đoạn $ \left[ -1;0 \right] $ và $ f\left ( { -1 } \right )\cdot f\left ( { 0 } \right )=-1\cdot 1=-1 < 0 $ nên phương trình $ f\left ( { t } \right )=0 $ có ít nhất một nghiệm trên khoảng $ \left ( { -1;0 } \right ) $. Hàm số $ f\left ( { t } \right ) $ liên tục trên đoạn $ \left[ 1;2 \right] $ và $ f\left ( { 1 } \right )\cdot f\left ( { 2 } \right )=3\cdot \left ( { -1 } \right )=-3 < 0 $ nên phương trình $ f\left ( { t } \right )=0 $ có ít nhất một nghiệm trên khoảng $ \left ( { 1;2 } \right ) $. Vì phương trình $ f\left ( { t } \right )=0 $ là phương trình bậc ba có nhiều nhất ba nghiệm, nên phương trình này có đúng ba nghiệm lần lượt là $ \left[ \begin{array}{l} t=a∈\left ( { -2;-1 } \right ) \\ t=b∈\left ( { -1;0 } \right ) \\ t=c∈\left ( { 1;2 } \right ) \end{array} \right. $. Xét phương trình $ -\sin ^ { 3 } x+3\sin x+1=0 $, đặt $ t=\sin x $ với $ t∈\left[ -1;1 \right] $. Khi đó chỉ có $ t=b∈\left ( { -1;0 } \right ) $ thỏa mãn. Xét phương trình $ \sin x=b $ trên $ \left ( { -π;2π } \right ) $. Vẽ đồ thị hàm số $ y=\sin x $ và đường thẳng $ y=b $ trên khoảng $ \left ( { -π;2π } \right ) $, ta suy ra phương trình đã cho có đúng 4 nghiệm trên khoảng $ \left ( { -π;2π } \right ) $.