Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right )=\left ( { m-1 } \right )x ^ { 3 } +2x+1 $ với $ m $ là tham số.

a) Đúng. Với mọi $ m $ thì $ y=f\left ( { x } \right ) $ là hàm đa thức nên liên tục trên $ \mathbb{R} $. b) Sai. Khi $ m=\frac { 1 } { 2 } $ ta có $ y=f\left ( { x } \right )=-\frac { 1 } { 2 }x ^ { 3 } +2x+1 $. Đây là hàm liên tục trên $ \left[ -1;0 \right] $ và $ \left[ 0;3 \right] $. Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} f\left ( { -1 } \right )=-\frac { 1 } { 2 } \\ f\left ( { 0 } \right )=1 \end{array} \right.⇒f\left ( { -1 } \right )\cdot f\left ( { 0 } \right ) < 0 $ nên $ f\left ( { x } \right )=0 $ có ít nhất một nghiệm trên $ \left ( { -1;0 } \right ) $. Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} f\left ( { 0 } \right )=1 \\ f\left ( { 3 } \right )=-\frac { 13 } { 2 } \end{array} \right.⇒f\left ( { 0 } \right )\cdot f\left ( { 3 } \right ) < 0 $ nên $ f\left ( { x } \right )=0 $ có ít nhất một nghiệm trên $ \left ( { 0;3 } \right ) $. Từ đó suy ra phương trình $ f\left ( { x } \right )=0 $ có ít nhất hai nghiệm trên $ \left ( { -1;3 } \right ) $. c) Đúng. Có $ y=f\left ( { x } \right ) $ là hàm liên tục trên $ \mathbb{R} $. Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} f\left ( { -1 } \right )=-m \\ f\left ( { 1 } \right )=m+2 \end{array} \right.⇒f\left ( { -1 } \right )\cdot f\left ( { 1 } \right )=-m\left ( { m+2 } \right ) < 0,\,\,\,\,∀m∈\left ( { -∞;-2 } \right )∪\left ( { 0;+∞ } \right ) $. Suy ra $ f\left ( { x } \right )=0 $ có ít nhất một nghiệm trên $ \left ( { -1;1 } \right ) $ với mọi $ m∈\left ( { -∞;-2 } \right )∪\left ( { 0;+∞ } \right ) $. d) Đúng. Có $ y=f\left ( { x } \right ) $ là hàm liên tục trên $ \mathbb{R} $ và $ f\left ( { 0 } \right )=1>0 $. Ta có $ \lim\limits_{ x→+∞ } f\left ( { x } \right )=\lim\limits_{ x→+∞ } \left[ \left ( { m-1 } \right )x ^ { 3 } +2x+1 \right]=\lim\limits_{ x→+∞ } \left[ x ^ { 3 } \left ( { m-1+\frac { 2 } { x ^ { 2 } }+\frac { 1 } { x ^ { 3 } } } \right ) \right]=-∞ $ do $ m < 1 $. Khi đó, tồn tại số $ a>0 $ sao cho $ f\left ( { a } \right ) < 0 $. Suy ra $ f\left ( { 0 } \right )\cdot f\left ( { a } \right ) < 0 $ nên phương trình $ f\left ( { x } \right )=0 $ có ít nhất một nghiệm trên $ \left ( { 0;a } \right ) $. Suy ra $ m < 1 $ thì phương trình $ f\left ( { x } \right )=0 $ có nghiệm dương.