Cho tứ diện $OABC$ có ba cạnh $OA$, $OB$, $OC$ đôi một vuông góc và $OA = OB = OC = 2$. Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên $ABC$. Tính diện tích hình chiếu của tam giác $OBC$ lên mặt phẳng $(ABC)$.

Lời giải Hình chiếu của tam giác $OBC$ lên mặt phẳng $(ABC)$ là tam giác $HBC$. Ta có: $$ \begin{cases} OA \perp OB \\ OA \perp OC \end{cases} \Rightarrow OA \perp BC $$ Gọi $I$ là giao điểm của $AH$ và $BC$; $J$ là giao điểm của $CH$ và $AB$; $K$ là giao điểm của $BH$ và $AC$. Ta có: $$ \begin{cases} BC \perp OH \\ BC \perp OA \end{cases} \Rightarrow BC \perp AI $$ Suy ra $AI$ là đường cao của tam giác $ABC$. Ta lại có: $$ \begin{cases} AB \perp OH \\ AB \perp OC \end{cases} \Rightarrow AB \perp CJ $$ Suy ra $CJ$ là đường cao của tam giác $ABC$. $\Rightarrow H$ là trực tâm $\Delta ABC$. Mà tam giác $ABC$ đều nên: $$ S_{HBC} = \frac{1}{3} S_{ABC} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\Big( 2\sqrt{2} \Big)^{2} \sqrt{3}}{4} \approx 0,87 $$