Cho $ \log_{ 2 } 3=a;\log_{ 3 } 5=b $. Biết $ \log_{ 12 } 90=\frac { ab+ma+n } { a+p } $ với $ m,n,p∈\mathbb{Z} $, gía trị của $ m+n+p $ bằng bao nhiêu?

Ta có $ \log_{ 12 } 90=\frac { \log_{ 2 } 90 } { \log_{ 2 } 12 } $ + $ \log_{ 2 } 12=\log_{ 2 } \left ( { 3.4 } \right )=\log_{ 2 } 3+\log_{ 2 } 4=a+2 $ + $ \log_{ 2 } 90=\log_{ 2 } \left ( { 2.45 } \right )=\log_{ 2 } 2+\log_{ 2 } 45=1+\frac { \log_{ 3 } 45 } { \log_{ 3 } 2 }=1+a.\log_{ 3 } \left ( { 9.5 } \right ) $ $ =1+2a+a\log_{ 3 } 5=1+2a+ab $ Vậy $ \log_{ 12 } 90=\frac { ab+2a+1 } { a+2 }=\frac { ab+ma+n } { a+p }⇒\left \{ \begin{array}{l} m=2 \\ n=1 \\ p=2 \end{array} \right.⇒m+n+p=5 $.