Cho $ \log_{ 27 } 5=a;\log_{ 8 } 7=b $ và $ \log_{ 2 } 3=c. $ Biết $ \log_{ 6 } 35=\frac { mb+3ac } { 1+nc } $ $ ,m,n∈\mathbb{N} ^ { * } . $Tính $ m+n. $

Ta có $ \log_{ 27 } 5=a⇒\log_{ 3 } 5=3a $ và $ \log_{ 8 } 7=b⇒\log_{ 2 } 7=3b. $ Khi đó $ \log_{ 6 } 35=\log_{ 6 } 2.\log_{ 2 } 35=\frac { 1 } { \log_{ 2 } 6 }\left ( { \log_{ 2 } 7+\log_{ 2 } 5 } \right )=\frac { 1 } { 1+\log_{ 2 } 3 }\left ( { \log_{ 2 } 7+\log_{ 2 } 3.\log_{ 3 } 5 } \right ) $. Vậy $ \log_{ 6 } 35=\frac { 3b+3ac } { 1+c } $. Suy ra $ m=3,n=1. $ Do đó $ m+n=4. $