Cho tứ diện $ ABCD $. Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ AB $ và $ CD $. Trên cạnh $ AD,BC $ lần lượt lấy các điểm $ P,Q $ sao cho $ \overset\rightarrow { AP }=\frac { 2 } { 3 }\overset\rightarrow { AD } $ và $ \overset\rightarrow { BQ }=\frac { 2 } { 3 }\overset\rightarrow { BC } $. Biết rằng $ \overset\rightarrow { MN }=\alpha ⋅\overset\rightarrow { MP }+\beta ⋅\overset\rightarrow { MQ } $. Hãy tính tổng $ \alpha +\beta $

Ta có: $ \overset\rightarrow { MN }=\overset\rightarrow { MA }+\overset\rightarrow { AN }=-\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AB }+\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AC }+\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AD } $ Mặt khác $ \overset\rightarrow { MP }=\overset\rightarrow { MA }+\overset\rightarrow { AP }=-\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AB }+\frac { 2 } { 3 }\overset\rightarrow { AD } $; và $ \overset\rightarrow { MQ }=\overset\rightarrow { MB }+\overset\rightarrow { BQ }=\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AB }+\frac { 2 } { 3 }\overset\rightarrow { BC }=\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AB }+\frac { 2 } { 3 }(\overset\rightarrow { AC }-\overset\rightarrow { AB })=-\frac { 1 } { 6 }\overset\rightarrow { AB }+\frac { 2 } { 3 }\overset\rightarrow { AC } $; Đồng nhất $ \overset\rightarrow { MN }=\alpha ⋅\overset\rightarrow { MP }+\beta ⋅\overset\rightarrow { MQ } $ ta được $ \alpha =\beta =\frac { 3 } { 4 }⇒\alpha +\beta =\frac { 3 } { 2 } $.