(THPT Văn Giang - Hưng Yên 2025) Cho tứ diện $ ABCD $ có $ AB,AC,AD $ đôi một vuông góc. Cạnh $ AB=AC=a. $ Gọi $ M $ là trung điểm của $ BC $, $ H $ là trung điểm của $ MD $.

a) đúng. $ \overset\rightarrow { DM }=\frac { \overset\rightarrow { DB }+\overset\rightarrow { DC } } { 2 } $ Vì $ M $ là trung điểm của $ BC $ nên $ \overset\rightarrow { DM }=\frac { \overset\rightarrow { DB }+\overset\rightarrow { DC } } { 2 } $. b) sai. Góc giữa hai vectơ $ \overset\rightarrow { AH } $ và $ \overset\rightarrow { BC } $ bằng $ 60° $ Tam giác $ ABC $ cân tại $ A ⇒AM⊥BC $ Tam giác $ DBC $ cân tại $ D ⇒DM⊥BC $ $ ⇒BC⊥\left ( { ADM } \right )⇒AH⊥BC $ $ ⇒\left ( { \overset\rightarrow { AH };\overset\rightarrow { BC } } \right )=90 ^ { ° } $ c) đúng. $ \overset\rightarrow { AB }.\overset\rightarrow { AH }=\frac { a ^ { 2 } } { 4 } $ $ \overset\rightarrow { AB }.\overset\rightarrow { AH }=\overset\rightarrow { AB }.\left ( { \frac { \overset\rightarrow { AD }+\overset\rightarrow { AM } } { 2 } } \right )=\overset\rightarrow { AB }.\frac { \overset\rightarrow { AD } } { 2 }+\frac { \overset\rightarrow { AB }.\overset\rightarrow { AM } } { 2 } $ Ta có $ AB,AC,AD $ đôi một vuông góc $ ⇒\overset\rightarrow { AB }.\overset\rightarrow { AD }=0 $ Nên $ \overset\rightarrow { AB }.\overset\rightarrow { AH }=\frac { \overset\rightarrow { AB }.\overset\rightarrow { AM } } { 2 }=\frac { 1 } { 2 }\left ( { \overset\rightarrow { AB }.\left ( { \frac { \overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { AC } } { 2 } } \right ) } \right )=\frac { 1 } { 4 }\left ( { \overset\rightarrow { AB } ^ { 2 } +\overset\rightarrow { AB }.\overset\rightarrow { AC } } \right )=\frac { a ^ { 2 } } { 4 } $ d) sai. $ \overset\rightarrow { AH }=\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AD }+\frac { \overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { AD } } { 4 } $ $ \overset\rightarrow { AH }=\frac { \overset\rightarrow { AM }+\overset\rightarrow { AD } } { 2 }=\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AD }+\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AM }=\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AD }+\frac { 1 } { 2 }\left ( { \frac { \overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { AC } } { 2 } } \right )=\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AD }+\frac { \overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { AC } } { 4 } $