Cho hai hình bình hành $ ABCD $ và $ ABEF $ không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên các đường chéo $ AC $ và $ BF $ lấy các điểm $ M,N $ sao cho $ MC=2MA,NF=2NB $. Khi đó biểu diễn vectơ $ \overset\rightarrow { MN } $ theo ba vectơ $ \overset\rightarrow { AB },\overset\rightarrow { AD },\overset\rightarrow { AF } $ ta được: $ \overset\rightarrow { MN }=a⋅\overset\rightarrow { AB }+b⋅\overset\rightarrow { AD }+c⋅\overset\rightarrow { AF } $. Tính giá trị của $ 12a-3b+6c $

Ta có: $ \overset\rightarrow { AM }=\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AC }=\frac { 1 } { 3 }(\overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { AD }) $ và $ \overset\rightarrow { AN }=\overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { BN }=\overset\rightarrow { AB }+\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { BF }=\overset\rightarrow { AB }+\frac { 1 } { 3 }(\overset\rightarrow { AF }-\overset\rightarrow { AB })=\frac { 2 } { 3 }\overset\rightarrow { AB }+\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AF } $. Do đó $ \overset\rightarrow { MN }=\overset\rightarrow { AN }-\overset\rightarrow { AM }=\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AB }-\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AD }+\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AF } $, suy ra $ a=\frac { 1 } { 3 },b=-\frac { 1 } { 3 },c=\frac { 1 } { 3 } $. Suy ra $ 12a-3b+6c=4+1+2=7 $