Số các giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $[-20; 20]$ để $m \le -2x + y$ với mọi cặp số $(x; y)$ thỏa mãn hệ bất phương trình $\begin{cases} -2x + y \le 2 \\ -x + 2y \le 4 \\ x + y \le 5 \\ y \ge 0 \end{cases}$ là bao nhiêu?

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, ta thu được miền nghiệm là miền tứ giác $ABCD$ (kể cả các cạnh ranh giới) với tọa độ các đỉnh lần lượt là: - Đỉnh $A(-1; 0)$ là giao điểm của hai đường thẳng $-2x + y = 2$ và $y = 0$. - Đỉnh $B(5; 0)$ là giao điểm của hai đường thẳng $x + y = 5$ và $y = 0$. - Đỉnh $C(2; 3)$ là giao điểm của hai đường thẳng $-x + 2y = 4$ và $x + y = 5$. - Đỉnh $D(0; 2)$ là giao điểm của hai đường thẳng $-2x + y = 2$ và $-x + 2y = 4$. Đặt biểu thức $F(x; y) = -2x + y$. Giá trị của $F(x; y)$ sẽ đạt cực trị tại các đỉnh của miền nghiệm tứ giác $ABCD$. Ta lần lượt tính giá trị của $F$ tại 4 đỉnh: - Tại $A(-1; 0) \implies F(-1; 0) = -2 \cdot (-1) + 0 = 2$ - Tại $B(5; 0) \implies F(5; 0) = -2 \cdot 5 + 0 = -10$ - Tại $C(2; 3) \implies F(2; 3) = -2 \cdot 2 + 3 = -1$ - Tại $D(0; 2) \implies F(0; 2) = -2 \cdot 0 + 2 = 2$ Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F(x; y)$ trên miền nghiệm là $\min F = -10$ tại đỉnh $B(5; 0)$. Để bất đẳng thức $m \le -2x + y$ đúng với mọi cặp số $(x; y)$ thỏa mãn hệ bất phương trình, ta cần $m \le \min F = -10$. Mà $m$ nguyên thuộc đoạn $[-20; 20]$ nên $m \in \{-20; -19; \ldots; -10\}$. Vậy có 11 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.