Cho hệ bất phương trình: $ \left\{ \begin{array}{l} 3x + y \le 6 \\ x + y \le 4 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{array} \right. (*) $. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để bất phương trình $-2x + 3y + m \ge 0$ nghiệm đúng với mọi cặp số $(x; y)$ thoả mãn hệ bất phương trình $(*)$ và $m \in [-5; 5]$.

Ta có: $-2x + 3y + m \ge 0 \Leftrightarrow m \ge 2x - 3y$. Đặt $F(x; y) = 2x - 3y$. Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi cặp số $(x; y)$ thuộc miền nghiệm của hệ $(*)$ thì $m \ge \max F(x; y)$ trên miền nghiệm đó. Miền nghiệm của hệ $(*)$ là miền tứ giác $OABC$ với tọa độ các đỉnh là: - $O(0; 0)$ - $A(0; 4)$ (giao điểm của $x + y = 4$ và trục $Oy$) - $B(1; 3)$ (giao điểm của $3x + y = 6$ và $x + y = 4$) - $C(2; 0)$ (giao điểm của $3x + y = 6$ và trục $Ox$) Tính giá trị của $F(x; y) = 2x - 3y$ tại các đỉnh: - $F(0; 0) = 0$ - $F(0; 4) = -12$ - $F(1; 3) = 2(1) - 3(3) = -7$ - $F(2; 0) = 2(2) - 3(0) = 4$ Suy ra $\max F(x; y) = 4$, do đó điều kiện của $m$ là $m \ge 4$. Kết hợp với điều kiện $m$ là số nguyên và $m \in [-5; 5]$, ta được $m \in \{4; 5\}$. Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn là: $4 + 5 = 9$.