Cho hệ bất phương trình: $ \left\{ \begin{array}{l} y - 2x \le 2 \\ y \le 4 \\ x \le 5 \\ x + y \ge -1 \end{array} \right. $. Biết rằng biểu thức $F(x; y) = -x - y$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $(x; y)$ thỏa mãn hệ trên. Tính tổng $x + y$ tại vị trí đó.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình cho trước là miền tứ giác $ABCD$ (kể cả biên) có tọa độ các đỉnh là giao điểm của các đường thẳng ranh giới: - Đỉnh $A(-1; 0)$ là giao của $y - 2x = 2$ và $x + y = -1$. - Đỉnh $B(1; 4)$ là giao của $y - 2x = 2$ và $y = 4$. - Đỉnh $C(5; 4)$ là giao của $y = 4$ và $x = 5$. - Đỉnh $D(5; -6)$ là giao của $x = 5$ và $x + y = -1$. Tính giá trị của biểu thức $F(x; y) = -x - y$ tại bốn đỉnh của tứ giác: - Tại $A(-1; 0)$: $F(-1; 0) = -(-1) - 0 = 1$ - Tại $B(1; 4)$: $F(1; 4) = -1 - 4 = -5$ - Tại $C(5; 4)$: $F(5; 4) = -5 - 4 = -9$ - Tại $D(5; -6)$: $F(5; -6) = -5 - (-6) = 1$ So sánh các giá trị vừa tính, ta thấy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F(x; y)$ là $-9$, đạt được tại đỉnh $C(5; 4)$. Khi đó, tổng cần tìm là: $x + y = 5 + 4 = 9$.