(Cụm trường Nghệ An 2025) Chào mừng tháng Thanh niên. Đoàn trường THPT X tổ chức cải tạo một khoảng đất trong khuôn viên nhà trường có hình dạng là một đường tròn có đường kính $ 8m $. Để tăng tính thẩm mỹ, khi thực hiện cải tạo đã chia mảnh đất đó thành hai phần bằng một đường cong là một phần của đồ thị hàm số bậc ba $ y=f\left ( { x } \right ) $, phần gạch chéo dùng để trồng hoa và phần còn lại dùng để trồng cỏ, được mô hình hóa trong hệ trục $ Oxy $ như hình vẽ dưới đây. Biết đồ thị hàm số bậc ba $ y=f\left ( { x } \right ) $ có tâm đối xứng trùng với gốc tọa độ; đi qua các điểm $ E,F $ lần lượt là các điểm chính giữa của các cung $ \overset ⌢ { BC },\overset ⌢ { DA } $ và đi qua các giao điểm của đường tròn với trục $ Ox $.

Question

Beedemy · Accepted Answer

a. Tọa độ các điểm $ E,F $ là $ E\left ( { -2\sqrt[] { 2 };2\sqrt[] { 2 } } ight ),F\left ( { 2\sqrt[] { 2 };-2\sqrt[] { 2 } } ight ) $. Đúng. b. Biết $ y=f\left ( { x } ight )=ax ^ { 3 } +bx $. Khi đó $ a+b=-15 $. Sai. c. Diện tích phần trồng hoa là $ S=16+8\pi \left ( { m ^ { 2 } } ight ) $. Đúng. d. Biết chi phí trồng hoa $ 1m ^ { 2 } $ là $ 180 $ nghìn đồng, trồng cỏ $ 1m ^ { 2 } $ là $ 100 $ nghìn đồng. Chi phí để hoàn thành công trình trên là $ 8117 $ nghìn đồng (làm tròn đến hàng nghìn). Sai. Lời giải: a) đúng. Vì các điểm $ E,F $ lần lượt là các điểm chính giữa của các cung $ \overset ⌢ { BC },\overset ⌢ { DA } $ nên $ E\left ( { -2\sqrt[] { 2 };2\sqrt[] { 2 } } ight ),F\left ( { 2\sqrt[] { 2 };-2\sqrt[] { 2 } } ight ) $. b) sai. Hàm số bậc ba có dạng: $ y=f\left ( { x } ight )=ax ^ { 3 } +cx ^ { 2 } +bx+d\left ( { a
eq 0 } ight ) $. Ta có: $ f'\left ( { x } ight )=3ax ^ { 2 } +2cx+b $; $ f''\left ( { x } ight )=6ax+2c $. Đồ thị hàm số đi qua các điểm: $ C\left ( { -4;0 } ight ),A\left ( { 4;0 } ight ) $ và có tâm đối xứng là gốc tọa độ nên ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} f\left ( { -4 } ight )=0 \ f\left ( { 4 } ight )=0 \ f''\left ( { 0 } ight )=0 \ f\left ( { 0 } ight )=0 \end{array} ight.⇒\left \{ \begin{array}{l} 64a+4b=0 \ c=0 \ d=0 \end{array} ight.⇒b=-16a⇒f\left ( { x } ight )=ax ^ { 3 } -16ax $. Đồ thị hàm số $ f\left ( { x } ight )=ax ^ { 3 } -16ax $ đi qua các điểm $ E\left ( { -2\sqrt[] { 2 };2\sqrt[] { 2 } } ight ),F\left ( { 2\sqrt[] { 2 };-2\sqrt[] { 2 } } ight ) $ nên $ a=\frac { 1 } { 8 } $; $ b=-16a=-2 $. Suy ra $ a+b=-\frac { 15 } { 2 } $. c) đúng. Diện tích phần trồng hoa là $ S=\frac { 1 } { 2 }.\pi .4 ^ { 2 } +2.\int _{ -4 }^{ 0 } { \left ( { \frac { 1 } { 8 }x ^ { 3 } -2x } ight ) }dx=8\pi +16\left ( { m ^ { 2 } } ight ) $. d) sai. Diện tích phần trồng cỏ là $ S=\pi .4 ^ { 2 } -\left ( { 8\pi +16 } ight )=8\pi -16\left ( { m ^ { 2 } } ight ) $. Chi phí để hoàn thành công trình trên là $ \left ( { 8\pi +16 } ight ).180+\left ( { 8\pi -16 } ight ).100≈8317 $ (nghìn đồng).

Cùng dạng: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số