Cho bất phương trình: $25^{x} - 2(m+1)5^{x} - 3 - 2m 0 \quad (1)$.

Question

Cho bất phương trình: $25^{x} - 2(m+1)5^{x} - 3 - 2m > 0 \quad (1)$.

Beedemy · Accepted Answer

a. Nếu đặt $t = 5^{x}$ ($t > 0$) thì bất phương trình $(1)$ trở thành bất phương trình $t^{2} - 2(m+1)t - 3 - 2m > 0$. Đúng. b. Khi $m = -1$ thì bất phương trình $(1)$ có tập nghiệm là $S = [0; +\infty)$. Sai. c. Bất phương trình $(1)$ có nghiệm $x = 0$ với $m < -1$. Đúng. d. Với $m < -\frac{3}{2}$ thì bất phương trình $(1)$ nghiệm đúng với mọi số thực $x$. Sai. Lời giải: a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai Lời giải a) Ta có $25^{x} - 2(m+1)5^{x} - 3 - 2m > 0 \Leftrightarrow 5^{2x} - 2(m+1)\cdot 5^{x} - 3 - 2m > 0$. Khi đặt $t = 5^{x}$ ($t > 0$) thì bất phương trình trở thành $t^{2} - 2(m+1)t - 3 - 2m > 0$. b) Với $m = -1$, bất phương trình trở thành $5^{2x} > 1 \Leftrightarrow 2x > 0 \Leftrightarrow x > 0$. Vậy tập nghiệm phải là $S = (0; +\infty)$. c) Thay $x = 0$ vào bất phương trình ta được: $25^{0} - 2(m+1)5^{0} - 3 - 2m > 0 \Leftrightarrow 1 - 2m - 2 - 3 - 2m > 0 \Leftrightarrow -4m - 4 > 0 \Leftrightarrow m < -1$. d) Bất phương trình theo $t$ có dạng: $$ t^{2} - 2(m+1)t - 3 - 2m > 0 \Leftrightarrow (t + 1)(t - 3 - 2m) > 0 $$ Vì $t > 0 \Rightarrow t + 1 > 0$, bất phương trình tương đương với $t > 3 + 2m$. Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$ thì $t > 3 + 2m$ phải đúng với mọi $t > 0 \Rightarrow 3 + 2m \leq 0 \Leftrightarrow m \leq -\frac{3}{2}$.

Cho bất phương trình: $25^{x} - 2(m+1)5^{x} - 3 - 2m > 0 \quad (1)$.

Cùng dạng: Bất phương trình mũ và lôgarit (chú ý chiều bất đẳng thức theo cơ số)