Cho hàm số $ f(x)=x ^ { 2018 } +x ^ { 2017 } +\cdots +x ^ { 3 } +x ^ { 2 } +x+1 $, $ \left ( { x≠1 } \right ) $. Biết $ f'\left ( { 2 } \right )=a.2 ^ { b } +1 $, tính tổng $ a+b $.

Với $ x≠1, $thì $ f(x) $ là tổng của 2019 số hạng đầu của cấp số nhân với $ u_{ 1 } =1,\ q=x $nên ta được: $ f(x)=\frac { 1-x ^ { 2019 } } { 1-x }=\frac { x ^ { 2019 } -1 } { x-1 } $. Khi đó, ta có: $ f'(x)=\frac { 2019x ^ { 2018 } (x-1)-(x ^ { 2019 } -1) } { (x-1) ^ { 2 } }⇒f'(2)=\frac { 2019⋅2 ^ { 2018 } -(2 ^ { 2019 } -1) } { 1 }=2017⋅2 ^ { 2018 } +1 $. Vậy $ a=2017,b=2018⇒a+b=4035 $.