Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho $ A\left ( { 1;0 } \right ) $, $ B\left ( { 0;3 } \right ) $, $ C\left ( { -3;-5 } \right ). $ Tọa độ của điểm $ M\left ( { m;n } \right ) $ thuộc trục $ Ox $ sao cho $ \left | { 2\overset\rightarrow { MA }-3\overset\rightarrow { MB }+2\overset\rightarrow { MC } } \right | $ nhỏ nhất khi đó giá trị của $ m+n $ bằng $ ? $

Gọi $ M\left ( { m;0 } \right )∈Ox $ ta có: $ \overset\rightarrow { MA }=\left ( { 1-m;0 } \right ); \overset\rightarrow { MB }=\left ( { -m;3 } \right ); \overset\rightarrow { MC }=\left ( { -3-m;-5 } \right ). $ $ ⇒2\overset\rightarrow { MA }-3\overset\rightarrow { MB }+2\overset\rightarrow { MC }=\left ( { 2-2m+3m-6-2m;-9-10 } \right )=\left ( { -m-4;-19 } \right ) $ $ ⇒\left | { 2\overset\rightarrow { MA }-3\overset\rightarrow { MB }+2\overset\rightarrow { MC } } \right |=\sqrt[] { \left ( { m+4 } \right ) ^ { 2 } +19 ^ { 2 } }≥\sqrt[] { 19 ^ { 2 } }=19. $ Dấu $ ''='' $ xảy ra khi: $ m+4=0⇔m=-4 $ Vậy $ \left | { 2\overset\rightarrow { MA }-3\overset\rightarrow { MB }+2\overset\rightarrow { MC } } \right | $ nhỏ nhất bằng $ 19 $ tại $ M\left ( { -4;0 } \right ). $ Do đó: $ m+n=-4. $