Nhà bạn An có một miếng đất có hình Elip với độ dài trục lớn bằng 4m, độ dài trục nhỏ bằng 2m. Bạn An muốn trồng hoa thành hình tam giác cân OAB (tham khảo hình vẽ) với điểm O là tâm của Elip, các điểm A và B thuộc đường elip nói trên. Diện tích trồng hoa lớn nhất bằng bao nhiêu?

Giả sử Elip có phương trình chính tắc là $ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } }+\frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } }=1 $. Theo đề ta có $ \left \{ \begin{array}{l} 2a=4 \\ 2b=2 \end{array} \right.⇒\left \{ \begin{array}{l} a=2 \\ b=1 \end{array} \right.⇒\ \left ( { E } \right )\ :\ \frac { x ^ { 2 } } { 4 }+\frac { y ^ { 2 } } { 1 }=1 \ $ Chọn hệ trục $ Oxy $ như hình vẽ Không mất tổng quát, ta chọn điểm A và B thuộc (E) sao cho điểm A và B có hoành độ dương. Do tam giác $ OAB $ cân tại $ O $, suy ra $ A $ đối xứng với B qua Ox. Gọi điểm $ A\left ( { x_{ 0 } ;y_{ 0 } } \right )⇒B\left ( { x_{ 0 } ;-y_{ 0 } } \right ) $ với $ x_{ 0 } >0;\,y_{ 0 } >0 $. Vì $ A∈\left ( { E } \right ) $ nên $ \frac { x_{ 0 } ^{ 2 } } { 4 }+\frac { y_{ 0 } ^{ 2 } } { 1 }=1⇒y_{ 0 } =\frac { \sqrt[] { 4-x_{ 0 } ^{ 2 } } } { 2 } $. Gọi $ H $ là trung điểm của $ AB $, khi đó $ S_{ ΔOAB } =\frac { 1 } { 2 }OH.AB=\frac { 1 } { 2 }x_{ 0 } .2y_{ 0 } =\frac { 1 } { 2 }x_{ 0 } \sqrt[] { 4-x_{ 0 } ^{ 2 } }≤\frac { x_{ 0 } ^{ 2 }+4-x_{ 0 } ^{ 2 } } { 4 }=1 \\ $. Vậy diện tích trồng hoa lớn nhất bằng $ 1m ^ { 2 } $ khi $ \sqrt[] { 4-x_{ 0 } ^{ 2 } }=x_{ 0 } ⇒x_{ 0 } =\sqrt[] { 2 } $.