Trong công viên được thiết kế dựng các cột đèn chiếu sáng$ A_{ 1 } ,A_{ 2 } ,\,A_{ 3 } ,\,A_{ 4 } ,A_{ 5 } ,\,A_{ 6 } $ theo hình lục giác đều như hình sau: Người ta muốn trồng thảm cỏ sao cho các đèn $ A_{ 2 } ,\,A_{ 3 } ,\,A_{ 5 } ,\,A_{ 6 } $ nằm trên đường viền của thảm cỏ. Từ một vị trí bất kì trên mép đường viền đều có tổng khoảng cách đến các đèn $ A_{ 1 } ,\,A_{ 4 } $ bằng tổng khoảng cách từ một trong các cột đèn còn lại đến hai cột $ A_{ 1 } ,\,A_{ 4 } $. Hãy xác định khoảng rộng nhất của thảm cỏ mà người ta cần làm, biết khoảng cách giữa hai cột đèn liên tiếp bằng 50m. ( kết quảl àm tròn đến hàng phần trăm)

Lấy điểm $ I $bất kì nằm trên mép đường viền thảm cỏ, khi đó $ IA_{ 1 } +IA_{ 4 } =A_{ i } A_{ 1 } +A_{ i } A_{ 4 } $ với $ i∈\left\{2,3,5,6\right\} $. Do đó các điểm $ I,A_{ 2 } ,A_{ 3 } ,A_{ 5 } ,A_{ 6 } $ thuộc đường Elip có 2 tiêu điểm là $ A_{ 1 } $ và $ A_{ 4 } $. Chọn trục tọa độ như hình vẽ, mỗi đơn vị trên trục tương ứng với $ 10m $ thực tế. Khi đó, lục giác đều nội tiếp đường tròn tâm $ O $, bán kính $ R=5 $. Tam giác $ A_{ 1 } A_{ 2 } A_{ 4 } $ vuông tại $ A_{ 2 } $, suy ra $ A_{ 2 } A_{ 4 } =\sqrt[] { \left ( { A_{ 1 } A_{ 4 } } \right ) ^ { 2 } -\left ( { A_{ 1 } A_{ 2 } } \right ) ^ { 2 } }=\sqrt[] { 10 ^ { 2 } -5 ^ { 2 } }=5\sqrt[] { 3 } $. Hai tiêu điểm $ A_{ 1 } \left ( { 5;0 } \right ) $ và $ A_{ 4 } \left ( { -5;0 } \right ) $ suy ra $ c=5 $. Ta có $ A_{ 2 } A_{ 4 } +A_{ 2 } A_{ 1 } =2a=5\sqrt[] { 3 }+5⇒a=\frac { 5\sqrt[] { 3 }+5 } { 2 } $$ ⇒b=\sqrt[] { a ^ { 2 } -c ^ { 2 } }=\sqrt[] { \left ( { \frac { 5\sqrt[] { 3 }+5 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } -5 ^ { 2 } }=\frac { 5\sqrt[] { 2\sqrt[] { 3 } } } { 2 } $ Vậy khoảng rộng nhất của thảm cỏ là độ dài trục lớn là $ 2a=5\sqrt[] { 3 }+5≈13,7\, $, tức là bằng $ 137m $.