Tính tổng $S$ các nghiệm trên đoạn $[-\pi; \pi]$ của phương trình $(2\sin x - 1)(2\sin 2x + 1) = 3 - 4\cos^2 x$.

Chọn A Lời giải Biến đổi phương trình đã cho: $$ (2\sin x - 1)(2\sin 2x + 1) = 3 - 4\Big(1 - \sin^2 x\Big) $$ $$ \Leftrightarrow (2\sin x - 1)(2\sin 2x + 1) = 4\sin^2 x - 1 $$ $$ \Leftrightarrow (2\sin x - 1)(2\sin 2x + 1) = (2\sin x - 1)(2\sin x + 1) $$ $$ \Leftrightarrow (2\sin x - 1)\Big[(2\sin 2x + 1) - (2\sin x + 1)\Big] = 0 $$ $$ \Leftrightarrow (2\sin x - 1)(2\sin 2x - 2\sin x) = 0 $$ $$ \Leftrightarrow 2(2\sin x - 1)(\sin 2x - \sin x) = 0 $$ $$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2\sin x - 1 = 0 \\ \sin 2x = \sin x \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = \frac{1}{2} \\ 2x = x + k2\pi \\ 2x = \pi - x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \\ x = k2\pi \\ x = \frac{\pi}{3} + \frac{k2\pi}{3} \end{array} \right. \quad (k \in \mathbb{Z}) $$ Các họ nghiệm trên có thể được liệt kê các giá trị thuộc đoạn $[-\pi; \pi]$ như sau: - Từ họ $x = \frac{\pi}{6} + k2\pi$: $k=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}$. - Từ họ $x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi$: $k=0 \Rightarrow x=\frac{5\pi}{6}$. - Từ họ $x = k2\pi$: $k=0 \Rightarrow x=0$. - Từ họ $x = \frac{\pi}{3} + \frac{k2\pi}{3}$: $k=-2,-1,0,1 \Rightarrow x=-\pi; -\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}; \pi$. Các nghiệm thuộc $[-\pi; \pi]$ là $-\pi; -\frac{\pi}{3}; 0; \frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{6}; \pi$. Vậy $S = \Big(-\pi\Big) + \Big(-\frac{\pi}{3}\Big) + 0 + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{6} + \pi = \pi$.