Phương trình $\sqrt{-x^2 + 3x - 2} \cdot \sin\Big[\pi\Big(4x^2 + 2x\Big)\Big] = 0$ có bao nhiêu nghiệm thực?

Lời giải Điều kiện xác định: $-x^2 + 3x - 2 \geq 0 \Leftrightarrow 1 \leq x \leq 2$. Phương trình đã cho tương đương với: $$ \left[ \begin{array}{l} -x^2 + 3x - 2 = 0 \\ \sin\Big[\pi\Big(4x^2 + 2x\Big)\Big] = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 \\ x = 2 \\ \pi\Big(4x^2 + 2x\Big) = k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 \\ x = 2 \\ 4x^2 + 2x = k \quad (k \in \mathbb{Z}) \quad (*) \end{array} \right. $$ Xét hàm số $y = 4x^2 + 2x$ trên khoảng $(1; 2)$. Vì $x > 1$ nên $y' = 8x + 2 > 0$, suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $(1; 2)$. Ta có: - $y(1) = 4 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 = 6$ - $y(2) = 4 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 = 20$ Do đó, khi $x \in (1; 2)$ thì $6 < 4x^2 + 2x < 20$. Để phương trình $(*)$ có nghiệm thực $x \in (1; 2)$ thì $k$ phải là số nguyên thỏa mãn $6 < k < 20$. Suy ra $k \in \{7; 8; 9; \dots; 19\}$. Số giá trị nguyên của $k$ là $19 - 7 + 1 = 13$. Do hàm số đồng biến nên ứng với mỗi giá trị $k$, phương trình $(*)$ có đúng một nghiệm thực khác nhau thuộc khoảng $(1; 2)$, các nghiệm này đều khác $1$ và $2$. Kết hợp với hai nghiệm biên $x = 1$ và $x = 2$, tổng số nghiệm thực của phương trình là $13 + 2 = 15$ nghiệm.