Tìm số nghiệm trên đoạn $\Big[0; \frac{\pi}{2}\Big]$ của phương trình $\sin^{3}x + \sin x \cos x = 1 - \cos^{3}x$.

Lời giải Chọn A. Biến đổi phương trình: $$ \sin^{3}x + \sin x \cos x = 1 - \cos^{3}x \Leftrightarrow \sin^{3}x + \cos^{3}x = 1 - \sin x \cos x $$ $$ \Leftrightarrow (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) = 1 - \sin x \cos x $$ $$ \Leftrightarrow (1 - \sin x \cos x)(\sin x + \cos x - 1) = 0 $$ $$ \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} 1 - \sin x \cos x &= 0 \\ \sin x + \cos x - 1 &= 0 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} \sin(2x) &= 2 \quad (\text{vô nghiệm}) \\ \sin\Big(x + \frac{\pi}{4}\Big) &= \frac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned}\right. $$ $$ \Leftrightarrow \sin\Big(x + \frac{\pi}{4}\Big) = \sin\frac{\pi}{4} $$ $$ \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x + \frac{\pi}{4} &= \frac{\pi}{4} + k2\pi \\ x + \frac{\pi}{4} &= \frac{3\pi}{4} + k2\pi \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= k2\pi \\ x &= \frac{\pi}{2} + k2\pi \end{aligned}\right. \quad (k \in \mathbb{Z}) $$ Vì $x \in \Big[0; \frac{\pi}{2}\Big]$ nên ta chọn được các nghiệm $x = 0$ và $x = \frac{\pi}{2}$ (ứng với $k=0$ ở cả hai họ nghiệm). Vậy phương trình có $2$ nghiệm thuộc đoạn $\Big[0; \frac{\pi}{2}\Big]$.