Gọi $x_1; x_2$ lần lượt là các nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất trên đoạn $\Big[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\Big]$ của phương trình $\tan x + \cot x = 2\Big(\sin(2x) + \cos(2x)\Big)$. Tính tổng $S = 2x_1 + x_2$.

Lời giải Chọn A. Điều kiện xác định: $$ \left\{\begin{aligned} \sin x &\neq 0 \\ \cos x &\neq 0 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \sin(2x) \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{k\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z}) $$ Phương trình đã cho tương đương: $$ \tan x + \cot x = 2\Big(\sin(2x) + \cos(2x)\Big) $$ $$ \Leftrightarrow \frac{1}{\sin x \cos x} = 2\Big(\sin(2x) + \cos(2x)\Big) $$ $$ \Leftrightarrow \frac{2}{\sin(2x)} = 2\Big(\sin(2x) + \cos(2x)\Big) $$ $$ \Leftrightarrow 1 = \sin(2x)\Big(\sin(2x) + \cos(2x)\Big) $$ $$ \Leftrightarrow \sin^{2}(2x) + \cos^{2}(2x) = \sin^{2}(2x) + \sin(2x)\cos(2x) $$ $$ \Leftrightarrow \cos^{2}(2x) - \sin(2x)\cos(2x) = 0 $$ $$ \Leftrightarrow \cos(2x)\Big(\cos(2x) - \sin(2x)\Big) = 0 $$ $$ \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} \cos(2x) &= 0 \\ \sin(2x) - \cos(2x) &= 0 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \\ x &= \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} \end{aligned}\right. \quad (k \in \mathbb{Z}) $$ Trong đoạn $\Big[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\Big]$, xét từng họ nghiệm: - Với $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$: $k=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}$; $k=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}$ (các giá trị $k$ khác cho $x$ nằm ngoài đoạn). - Với $x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}$: $k=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{8}$; $k=-1 \Rightarrow x=-\frac{3\pi}{8}$ (các giá trị $k$ khác cho $x$ nằm ngoài đoạn). Các nghiệm thuộc $\Big[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\Big]$ là $-\frac{3\pi}{8}; -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{8}; \frac{\pi}{4}$. Do đó $x_1=-\frac{3\pi}{8}$ (nghiệm nhỏ nhất) và $x_2=\frac{\pi}{4}$ (nghiệm lớn nhất). Vậy $S = 2x_1 + x_2 = 2\Big(-\frac{3\pi}{8}\Big) + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2}$.