(Sở Bắc Giang 2025) Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right )=\frac { -x ^ { 2 } +x-2 } { x+1 } $ có đồ thị $ \left ( { C } \right ) $, khi đó.

a) Đúng. Ta có $ y'=f'\left ( { x } \right )=\frac { \left ( { -2x+1 } \right )\left ( { x+1 } \right )-\left ( { -x ^ { 2 } +x-2 } \right ) } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } }=\frac { -x ^ { 2 } -2x+3 } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } },∀x\neq -1 $ b) Sai. Ta có $ y=f\left ( { x } \right )=-x+2-\frac { 4 } { x+1 } $ Vì $ \lim\limits_{ x\to +\infty } \left[ f\left ( { x } \right )-\left ( { -x+2 } \right ) \right]=0 $ và $ \lim\limits_{ x\to -\infty } \left[ f\left ( { x } \right )-\left ( { -x+2 } \right ) \right]=0 $. Nên đường thẳng $ y=-x+2 $ là đường tiệm cận xiên. c) Sai. Ta có $ y'=f'\left ( { x } \right )=0⇔\frac { -x ^ { 2 } -2x+3 } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } }=0⇔-x ^ { 2 } -2x+3=0⇔\left[ \begin{array}{l} x=1⇒y=-1 \\ x=-3⇒y=7 \end{array} \right. $. Do đó $ A\left ( { 1;-1 } \right ),B\left ( { -3;7 } \right ) $ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. $ \overset\rightarrow { AB }=\left ( { -4;8 } \right )⇒AB=\sqrt[] { \left ( { -4 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 8 } \right ) ^ { 2 } }=4\sqrt[] { 5 } $ d) Sai Hàm số $ y=f\left ( { x } \right )=\frac { ax ^ { 2 } +bx+c } { mx+n } $ có đồ thị $ \left ( { C } \right ) $. Diện tích tạo bởi đường tiệm cận đứng, tiệm cận xiên và tiếp tuyến tại điểm $ M $ bất kỳ thuộc $ \left ( { C } \right ) $ là một hằng số. Điều này có nghĩa là không phụ thuộc vào $ M $, nên đây là bài toán tìm toạ độ nguyên của đồ thị hàm số $ \left ( { C } \right ) $. Khi đó $ y=f\left ( { x } \right )=-x+2-\frac { 4 } { x+1 } $ có đồ thị $ \left ( { C } \right ) $. Vì $ x\in Z,y\in Z $. Để $ \left ( { C } \right ) $ có toạ độ nguyên thì $ \frac { 4 } { x+1 }\in Z⇔4\vdots \left ( { x+1 } \right ) $. Do đó $ \left ( { x+1 } \right ) $ là ước của $ 4 $ nên $ \left ( { x+1 } \right )\in \left \{ \begin{array}{l} ±1;±2;±4 \end{array} \right \} $. Vậy có $ 6 $ điểm $ M $ có toạ độ nguyên sao cho tiếp tuyến của $ \left ( { C } \right ) $ tại $ M $ tạo với hai đường tiệm cận của $ \left ( { C } \right ) $ một tam giác có diện tích bằng $ 8 $.