Trong không gian với hệ trục tọa độ $ Oxyz $, đài kiểm soát không lưu của sân bay đặt tại điểm $ O\left ( { 0;0;0 } \right ) $, đơn vị độ dài trên mỗi trục ứng với $ 1km $. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát không lưu $ 417km $ sẽ hiển thị trên màn hình radar. Một máy bay đang ở vị trí $ M\left ( { -779;-260;8 } \right ) $ chuyển động thẳng đều với tốc độ không đổi theo hướng của vecto $ \overset\rightarrow { u }=\left ( { 91;75;0 } \right ) $.

a) đúng. Đường thẳng mô tả đường đi của máy bay đi qua điểm $ M\left ( { -779;-260;8 } \right ) $ và có vecto chỉ phương $ \overset\rightarrow { u }=\left ( { 91;75;0 } \right ) $ nên có phương trình tham số là: $ \left \{ \begin{array}{l} x=-779+91t \\ y=-260+75t \\ z=8 \end{array} \right. $. Thay tọa độ điểm $ N\left ( { -597;-110;8 } \right ) $ vào phương trình đường thẳng ta được: $ \left \{ \begin{array}{l} -597=-779+91t \\ -110=-260+75t \\ 8=8 \end{array} \right.⇔t=2 $. Vậy đường thẳng mô tả đường đi của máy bay đi qua điểm $ N\left ( { -597;-110;8 } \right ) $. b) sai. Gọi $ P\left ( { -779+91t;-260+75t;8 } \right ) $ là vị trí của máy bay. Khi đó: $ OP=\sqrt[] { \left ( { -779+91t } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -260+75t } \right ) ^ { 2 } +8 ^ { 2 } }=417⇔13906t ^ { 2 } -180778t+500616=0 $ $ ⇔\left[\begin{array}{l} t=9 \\ t=4 \end{array}\right. $. Vị trí đầu tiên máy bay xuất hiện trên màn hình radar là $ P_{ 1 } \left ( { -415;40;8 } \right ) $ và điểm cuối cùng là $ P_{ 2 } \left ( { 40;415;8 } \right ) $. c) đúng. Ta có: $ \left | { P_{ 2 } P_{ 2 } } \right |=\sqrt[] { \left ( { 40+415 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 415-40 } \right ) ^ { 2 } +0 ^ { 2 } }=5\sqrt[] { 13906 }≈589,619km $. Vận tốc của máy bay là: $ \frac { 589,619 } { \frac { 1 } { 2 } }=1179,237km/h $. $ MP_{ 2 } =\sqrt[] { \left ( { 40+779 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 415+260 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 8-8 } \right ) ^ { 2 } }=9\sqrt[] { 13906 }≈1061,313km $. Thời gian di chuyển từ $ M\left ( { -779;-260;8 } \right ) $ đến $ P_{ 2 } \left ( { 40;415;8 } \right ) $ là $ \frac { 1061,313 } { 1179,237 }≈0,9h≈54 $ phút. d) đúng. Khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu là:$ OP=\sqrt[] { \left ( { -779+91t } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -260+75t } \right ) ^ { 2 } +8 ^ { 2 } }=\sqrt[] { 13906t ^ { 2 } -180778t+674505 } $ $ =\sqrt[] { 13906\left ( { t-\frac { 13 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } +\frac { 173953 } { 2 } }\geq \sqrt[] { \frac { 173953 } { 2 } }≈294,918km $. Cách 2: Gọi $ I\left ( { \frac { -375 } { 2 };\frac { 455 } { 2 };8 } \right ) $ là trung điểm $ P_{ 2 } P_{ 2 } $. Ta có khoảng cách ngắn nhất từ $ O $ đến $ P_{ 1 } P_{ 2 } $ là $ OI=\sqrt[] { \left ( { \frac { -375 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 455 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } +8 ^ { 2 } ≈294,918 } $.