Trong không gian $ Oxyz $, cho hai điểm $ A\left ( { 1;0;1 } \right ) $, $ B\left ( { 5;2;3 } \right ) $ và mặt phẳng $ \left ( { P } \right ):\,2x-y+z-4=0 $ Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) sai. Ta có: $ d\left ( { A,\left ( { P } \right ) } \right )=\frac { \left | { 2⋅1-0+1-4 } \right | } { \sqrt[] { 2 ^ { 2 } +\left ( { -1 } \right ) ^ { 2 } +1 ^ { 2 } } }=\frac { \sqrt[] { 6 } } { 6 } $, $ d\left ( { B,\left ( { P } \right ) } \right )=\frac { \left | { 2⋅5-2+3-4 } \right | } { \sqrt[] { 2 ^ { 2 } +\left ( { -1 } \right ) ^ { 2 } +1 ^ { 2 } } }=\frac { 7\sqrt[] { 6 } } { 6 } $ Do đó $ d\left ( { A,\left ( { P } \right ) } \right ) < d\left ( { B,\left ( { P } \right ) } \right ) $ b) đúng. Gọi $ I $ là trung điểm của đoạn $ AB $. Suy ra $ I\left ( { 3;1;2 } \right ) $ Gọi $ \left ( { \alpha } \right ) $ là mặt phẳng trung trực của đoạn $ AB $ Suy ra $ \left ( { \alpha } \right ) $ đi qua điểm $ I\left ( { 3;1;2 } \right ) $ và có một vectơ pháp tuyến $ \overset\rightarrow { AB }=\left ( { 4;2;2 } \right ) $ Phương trình tổng quát của $ \left ( { \alpha } \right ):\,4\left ( { x-3 } \right )+2\left ( { y-1 } \right )+2\left ( { z-2 } \right )=0 $ $ ⇔4x+2y+2z-18=0 \\ ⇔2x+y+z-9=0 $ c) sai. Mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $ cắt trục $ Ox $ tại điểm có hoành độ bằng 2. d) đúng. Mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $ có có một vectơ pháp tuyến $ \overset\rightarrow { n_{ 1 } }=\left ( { 2;-1;1 } \right ) $ Do $ \left ( { Q } \right ) $ đi qua hai điểm $ A,\,\,B $ và vuông góc với $ \left ( { P } \right ) $ nên $ \left ( { Q } \right ) $ có cặp vectơ chỉ phương$ \overset\rightarrow { n_{ 1 } }=\left ( { 2;-1;1 } \right ) $ và $ \overset\rightarrow { AB }=\left ( { 4;2;2 } \right ) $. $ \overset\rightarrow { n }=\left[ \overset\rightarrow { n_{ 1 } },\overset\rightarrow { AB } \right]=\left ( { -4;0;8 } \right )=-4\left ( { 1;0;-2 } \right ) $ Suy ra $ \left ( { Q } \right ) $ đi qua điểm $ A\left ( { 1;0;1 } \right ) $ và có một vectơ pháp tuyến $ \overset\rightarrow { n }=\left ( { 1;0;-2 } \right ) $ Phương trình tổng quát của $ \left ( { Q } \right ):\,1\left ( { x-1 } \right )-2\left ( { z-1 } \right )=0 $ $ ⇔x-2z+1=0 $