(Sở Bạc Liêu 2025) Hệ thống cáp treo gồm hai trụ lớn và một đường cáp nối giữa hai trụ đó (coi như độ cong không đáng kể), được đặt trong không gian với hệ tọa độ $ Oxyz $. Một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $ O\left ( { 0;0;0 } \right ) $ thuộc trụ thứ nhất và chuyển động thẳng đều theo cáp đến điểm $ A\left ( { 896;2025;189 } \right ) $ thuộc trụ thứ hai với tốc độ là $ 7,4\,{ \rm{ m/s } } $ (đơn vị trên mỗi trục là mét).

a) Đúng. Gọi vị trí trung tâm khu vui chơi là $ C\left ( { 750,5;1497,25;0 } \right ) $. Khi đó: $ \overset\rightarrow { OA }=\left ( { 896;2025;189 } \right ) $. Vì điểm $ N\left ( { x_{ 0 } ;y_{ 0 } ;z_{ 0 } } \right ) $ thuộc đường cáp nên $ \overset\rightarrow { ON }=k\overset\rightarrow { OA }⇔\left \{ \begin{array}{l} x_{ 0 } =k.896 \\ y_{ 0 } =k.2025 \\ z_{ 0 } =k.189 \end{array} \right. ⇒N=\left ( { 896k;2025k;189k } \right ) $ $ \overset\rightarrow { CN }=\left ( { 896k-750,5;2025k-1497,25;189k } \right ) $ $ \left | { \overset\rightarrow { CN } } \right |=\sqrt[] { \left ( { 896k-750,5 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 2025k-1497,25 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 189k } \right ) ^ { 2 } } $. $ CN ^ { 2 } =4939162k ^ { 2 } +7408758,5k+280007,813 $. Cabin cách khu vui chơi một khoảng ngắn nhất khi $ CN $ ngắn nhất hay $ CN ^ { 2 } $ nhỏ nhất. Xét hàm số $ f\left ( { k } \right )=4939162k ^ { 2 } +7408758,5k+280007,813 $. $ f'\left ( { k } \right )=9878324k+7408758,5 $, $ f'\left ( { k } \right )=0⇔k≈0,75 $. Vì $ f\left ( { k } \right ) $ là hàm số bậc hai có đồ thị bề lõm hướng lên trên nên giá trị nhỏ nhất của $ f\left ( { k } \right ) $ là giá trị tại điểm cực trị của hàm số $ f\left ( { k } \right ) $, tức là $ k≈0,75 $. Suy ra $ \overset\rightarrow { ON }=\left ( { 672;1518,75;141,75 } \right ) $ vậy $ ON=\sqrt[] { 672 ^ { 2 } +1518,75 ^ { 2 } +141,75 ^ { 2 } }≈1667 $. b) Sai. Ta có $ \overset\rightarrow { OA }=\left ( { 896;2025;189 } \right ) $. Độ dài của đường cáp treo bằng độ dài đoạn $ OA $: $ OA=\sqrt[] { 896 ^ { 2 } +2025 ^ { 2 } +189 ^ { 2 } }≈2222\,{ \rm{ m } } $. c) Sai. Điểm $ B\left ( { x_{ B } ;y_{ B } ;z_{ B } } \right ) $ thuộc đường cáp treo nên $ \overset\rightarrow { OB }=t.\overset\rightarrow { OA }⇔\left \{ \begin{array}{l} x_{ B } =896t=672 \\ y_{ B } =2025t \\ z_{ B } =189t \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} t=0,75 \\ x_{ B } =672 \\ y_{ B } =1518,75 \\ z_{ B } =141,75 \end{array} \right. $. Suy ra $ B\left ( { 672;1518,75;141,75 } \right ) $ khi đó $ \overset\rightarrow { AB }=\left ( { 224;506,25;47,25 } \right ) $. $ AB=\sqrt[] { 224 ^ { 2 } +506,25 ^ { 2 } +47,25 ^ { 2 } }≈555,605638 $ Thời gian để cabin đi từ điểm $ B $ đến điểm $ A $ là $ t=\frac { AB } { 7,4 }=\frac { 555,605638 } { 7,4 }≈75 $ (giây). d) Đúng. Đường cáp treo có một vectơ chỉ phương là $ \overset\rightarrow { OA }=\left ( { 896;2025;189 } \right ) $ và đi qua điểm $ O\left ( { 0;0;0 } \right ) $ nên có phương trình là $ \left \{ \begin{array}{l} x=896t \\ y=2025t \\ z=189t \end{array} \right. $, do đoạn cáp treo chỉ giới hạn bởi hai đầu cáp treo $ O $ và $ A $ nên $ 0\leq t\leq 1 $. Vậy phương trình của đường cáp treo là $ \left \{ \begin{array}{l} x=896t \\ y=2025t \\ z=189t \end{array} \right. $ $ 0\leq t\leq 1 $.