Chu vi của một đa giác là $158$ cm, số đo các cạnh của đa giác đó lập thành cấp số cộng với công sai $d = 3$ cm. Biết cạnh lớn nhất là $44$ cm. Số cạnh của đa giác đó là

Lời giải Giả sử đa giác đã cho có $n$ cạnh thì chu vi đa giác đó là $S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n$ với $u_1, u_2, \dots, u_n$ lần lượt là số đo các cạnh của đa giác ($0 < u_1 < u_2 < \dots < u_n = 44$ cm). Suy ra $S_n = \frac{(u_1 + u_n)n}{2}$ hay: $$ 158 = \frac{u_1 + 44}{2} \cdot n \Leftrightarrow 316 = (u_1 + 44) \cdot n \Leftrightarrow n = \frac{316}{u_1 + 44} $$ Do $n \in \mathbb{N}$ nên $u_1 + 44$ là ước nguyên dương của $316$, mà $316 = 2^2 \cdot 79$. Suy ra $u_1 + 44 \in \{2; 4; 79; 158; 316\}$. - Với $u_1 + 44 = 2 \Leftrightarrow u_1 = -42 < 0$ (loại). - Với $u_1 + 44 = 4 \Leftrightarrow u_1 = -40 < 0$ (loại). - Với $u_1 + 44 = 79 \Leftrightarrow u_1 = 35 \Rightarrow n = \frac{316}{79} = 4$ (thỏa mãn). - Với $u_1 + 44 = 158 \Leftrightarrow u_1 = 114 \Rightarrow n = \frac{316}{114+44} = 2$ (loại do đa giác không có cạnh bằng 2). - Với $u_1 + 44 = 316 \Leftrightarrow u_1 = 272 \Rightarrow n = 1$ (loại do đa giác không có cạnh bằng 1). Vậy đa giác đã cho có 4 cạnh.