Cho tam giác $ ABC $ có $ G $ là trọng tâm,$ AB=5,\,AC=7 $, $ cosA=\frac { 3 } { 5 } $. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Đặt : $ AB=c,\,BC=a,\,CA=b $ a) Mệnh đề đúng. Ta có: $ a ^ { 2 } =b ^ { 2 } +c ^ { 2 } -2bccosA=7 ^ { 2 } +5 ^ { 2 } -2.7.5.\frac { 3 } { 5 }=32⇒a=4\sqrt[] { 2 }. $ b) Mệnh đề sai. Ta có: $ \sin ^ { 2 } A+\cos ^ { 2 } A=1⇒\sin ^ { 2 } A=1-\cos ^ { 2 } A=1-\frac { 9 } { 25 }=\frac { 16 } { 25 }⇒sinA=\frac { 4 } { 5 } $ (Vì $ sinA>0 $ do $ 0 ^ { \circ } < A < 180 ^ { \circ } $). c) Mệnh đề đúng. Gọi đường cao xuất phát từ đỉnh $ A $ là $ h_{ a } $. Ta có: $ S_{ ΔABC } =\frac { 1 } { 2 }b.c.sinA=\frac { 1 } { 2 }a.h_{ a } ⇒h_{ a } =\frac { bcsinA } { a }=\frac { 7.5.\frac { 4 } { 5 } } { 4\sqrt[] { 2 } }=\frac { 7\sqrt[] { 2 } } { 2 } $. d) Mệnh đề đúng. Gọi $ M,\,N $ lần lượt là trung điểm của $ AC $ và $ AB $. Khi đó $ BM∩CN=G $. Xét tam giác $ ABM $:$ BM ^ { 2 } =AB ^ { 2 } +AM ^ { 2 } -2.AB.AM.\cos \widehat { BAC }=5 ^ { 2 } +\left ( { \frac { 7 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } -2.5.\frac { 7 } { 2 }.\frac { 3 } { 5 }=\frac { 65 } { 4 } $ Suy ra: $ BM=\sqrt[] { \frac { 65 } { 4 } }=\frac { \sqrt[] { 65 } } { 2 } $ và $ BG=\frac { 2 } { 3 }BM=\frac { 2 } { 3 }.\frac { \sqrt[] { 65 } } { 2 }=\frac { \sqrt[] { 65 } } { 3 } $. Xét tam giác $ ACN $:$ CN ^ { 2 } =AC ^ { 2 } +AN ^ { 2 } -2.AC.AN.\cos \widehat { BAC }=7 ^ { 2 } +\left ( { \frac { 5 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } -2.7.\frac { 5 } { 2 }.\frac { 3 } { 5 }=\frac { 137 } { 4 } $ Suy ra: $ CN=\sqrt[] { \frac { 137 } { 4 } }=\frac { \sqrt[] { 137 } } { 2 } $ và $ CG=\frac { 2 } { 3 }CN=\frac { 2 } { 3 }.\frac { \sqrt[] { 137 } } { 2 }=\frac { \sqrt[] { 137 } } { 3 } $. Ta có: $ S_{ ΔGBC } =\frac { 1 } { 3 }S_{ ΔABC } =\frac { 1 } { 3 }.\frac { 1 } { 2 }a.h_{ a } =\frac { 1 } { 6 }.4\sqrt[] { 2. }\frac { 7\sqrt[] { 2 } } { 2 }=\frac { 14 } { 3 } $. Mà $ S_{ ΔGBC } =\frac { BG.CG.BC } { 4R_{ GBC } }⇒R_{ GBC } =\frac { BG.CG.BC } { 4S_{ ΔGBC } }=\frac { \frac { \sqrt[] { 65 } } { 3 }.\frac { \sqrt[] { 137 } } { 3 }.4\sqrt[] { 2 } } { 4.\frac { 14 } { 3 } }=\frac { \sqrt[] { 17810 } } { 42 }≈3,2 $.