Cho tam giác $ ABC $ có $ BC=10 $, $ \widehat { B }=75 ^ { o } $, $ \widehat { C }=45 ^ { o } $. Gọi $ D $ là trung điểm của $ BC $.

a) Đ. Ta có $ \widehat { A }=180 ^ { o } -75 ^ { o } -45 ^ { o } =60 ^ { o } $. b) Đ. Theo định lý sine trong $ ΔABC $, ta có $ \frac { AB } { \sin45 ^ { o } }=\frac { BC } { \sin60 ^ { o } }⇒AB=\frac { 10⋅\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 } } { \frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 } }=\frac { 10⋅\sqrt[] { 6 } } { 3 } $. c) Đ. Theo định lý cosine trong $ ΔABD $, ta có $ AD ^ { 2 } =\left ( { \frac { 10⋅\sqrt[] { 6 } } { 3 } } \right ) ^ { 2 } +5 ^ { 2 } -2⋅\frac { 10⋅\sqrt[] { 6 } } { 3 }⋅5⋅\cos75 ^ { o } $ $ =\frac { 125+50⋅\sqrt[] { 3 } } { 9 } $ nên $ AD=\frac { 5⋅\sqrt[] { 15+6⋅\sqrt[] { 3 } } } { 3 } $. d) S. Ta có $ S_{ ABD } =\frac { 1 } { 2 }⋅\frac { 10⋅\sqrt[] { 6 } } { 3 }⋅5⋅\sin75 ^ { o } =\frac { 25⋅\sqrt[] { 6 } } { 3 }⋅\frac { \sqrt[] { 6 }+\sqrt[] { 2 } } { 4 }=\frac { 25\left ( { 3+\sqrt[] { 3 } } \right ) } { 6 } $. Hơn nữa, $ p_{ ABD } =\frac { 1 } { 2 }⋅\left ( { \frac { 10⋅\sqrt[] { 6 } } { 3 }+\frac { 5⋅\sqrt[] { 15+6⋅\sqrt[] { 3 } } } { 3 }+5 } \right )=\frac { 10⋅\sqrt[] { 6 }+5⋅\sqrt[] { 15+6⋅\sqrt[] { 3 } }+15 } { 6 } $. Từ đó, ta được $ r_{ ABD } =\frac { S_{ ABD } } { p_{ ABD } }=\frac { 25\left ( { 3+\sqrt[] { 3 } } \right ) } { 6 }⋅\frac { 6 } { 10⋅\sqrt[] { 6 }+5⋅\sqrt[] { 15+6⋅\sqrt[] { 3 } }+15 }≈1,83 $.