Cho tam giác $ABC$ biết tọa độ các điểm $A(2; 4)$, $B(-1; 1)$ và $C(5; -2)$. Điểm $D(a; b)$ nằm trên đoạn $BC$ thỏa mãn $S_{\Delta ABD} = \frac{1}{3}S_{\Delta ABC}$. Tính $a+b$.

Kẻ đường cao $AH$ của tam giác $ABC$. Ta có: $S_{\Delta ABD} = \frac{1}{2}AH \cdot BD$, $S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}AH \cdot BC \Rightarrow \frac{S_{\Delta ABD}}{S_{\Delta ABC}} = \frac{BD}{BC} = \frac{1}{3}$. Lại có: $\vec{BD} = (a+1; b-1)$, $\vec{BC} = (6; -3)$. Vì điểm $D$ nằm trên đoạn $BC$ nên $\vec{BD} = \frac{1}{3}\vec{BC} \Rightarrow \begin{cases} a+1 = \frac{1}{3} \cdot 6 \\ b-1 = \frac{1}{3} \cdot (-3) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 1 \\ b = 0 \end{cases}.$ Vậy $a+b = 1$.